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擴展的實數軸

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擴展的實數軸

  擴展的實數軸

擴展的實數軸由實數軸R加上 +∞ 和 −∞ 得到(注意 +∞ 和 −∞ 並不是實數),寫作R或 [−∞,+∞]。擴展的實數軸在研究數學分析,特別是積分時非常有用。

1擴展

對任意實數a,定義 −∞ ≤a≤ +∞,擴展的實數軸就成了一個全序集。這種集合有種非常好的性質,就是其所有子集都有上確界和下確界:這是一個完備格。全序關係在R上引入了拓撲。在這個拓撲中,集合U是 +∞ 的鄰域,當且僅當它包含集合 {x:xa},這裡a是某個實數。−∞ 的鄰域類似。R是個緊緻的豪斯多夫空間,與單位區間[0,1]同胚。
R上的算術運算可以部分地擴展到R,如下:
* 若 a ≠ −∞,a + ∞ = ∞ + a = ∞
* 若 a ≠ +∞,a − ∞ = −∞ + a = −∞
* 若 a > 0,a × +∞ = +∞ × a = +∞
* 若 a < 0,a × +∞ = +∞ × a = −∞
* 若 a > 0,a × −∞ = −∞ × a = −∞
* 若 a < 0,a × −∞ = −∞ × a = +∞
* 若 −∞ < a < +∞,a / ±∞ = 0
* 若 0 < a < +∞,±∞ / a = ±∞
* 若 −∞ < a < 0,+∞ / a = −∞
* 若 −∞ < a < 0,−∞ / a = +∞
通常,不定義 ∞ − ∞,0 × ±∞ 和 ±∞ / ±∞。同時,1 / 0 也定義為 +∞ (這樣會對 −∞ 不公平)。這些規則是根據無窮極限的性質確定的。
注意,在這些定義下,R是域,也不是環。

2性質

經過上述定義,擴展的實數軸仍有很多實數的性質:
* a + (b + c) 和 (a + b) + c 相等或同時沒有定義。
* a + b 和 b + a 相等或同時沒有定義。
* a × (b × c) 和 (a × b) × c 相等或同時沒有定義。
* a × b 和 b × a 相等或同時沒有定義。
* a × (b + c) 和 (a × b) + (a × c) 若都有定義則相等。
* 若 a ≤ b 且 a + c 和 b + c 都有定義,則 a + c ≤ b + c。
* 若 a ≤ b 且 c > 0 且 a × c 和 b × c 都有定義,則 a × c ≤ b × c。
通常,只要表達式都有定義,所有算術性質在R上都成立。
使用極限,一些函數可以自然地擴展到R。例如,可以定義exp(−∞) = 0,exp(+∞) = +∞,ln(0) = −∞,ln(+∞) = ∞ 等等。

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