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擺線(cycloid)是數學中眾多的迷人曲線之一.它是這樣定義的:一個圓沿一直線緩慢地滾動,則圓上一固定點所經過的軌跡稱為擺線.

1別稱

一個圓在一條定直線上滾動時,圓周上一個定點的軌跡,又稱旋輪線
圓上定點的初始位置為坐標原點,定直線為x軸。當圓滾動j 角以後,圓上定點從 O 點位置到達P點位置。當圓滾動一周,即 j從O變動2π時,動圓上定點描畫出擺線的
擺線

  擺線

第一拱。再向前滾動一周, 動圓上定點描畫出第二拱,繼續滾動,可得第三拱,第四拱……,所有這些拱的形狀都是完全相同的 ,每一拱的拱高為2a(即圓的直徑),拱寬為2πa(即圓的周長)。擺線有一個重要性質,即當一物體僅憑重力從A點滑落到不在它正下方的B點時,若沿著A,B間的擺線,滑落所需時間最短,因此擺線又稱最速降曲線

2性質

到17 世紀,人們發現擺線具有如下性質:
1.它的長度等於旋轉圓直徑的 4 倍。尤為令人感興趣的是,它的長度是 一個不依賴於π的有理數.
2.在弧線下的面積,是旋轉圓面積的三倍。
3.圓上描出擺線的那個點,
擺線

  擺線

具有不同的速度——事實上,在特定的地方它甚至是靜止的。
4.當彈子從一個擺線形狀的容器的不同點放開時,它們會同時到達底部

3方程式

x=r*(t-sint)
擺線

  擺線

; y=r*(1-cost)
r為圓的半徑, t是圓的半徑所經過的角度(滾動角),當t由0變到2π時,動點就畫出了擺線的一支,稱為一拱。

4爭議

擺線最早出現可見於公元 1501 年出版的 C·鮑威爾的一本書中.但在 17 世 紀,大批卓越的數學家(如伽利略,帕斯卡,托里拆利,笛卡兒,費爾馬, 伍任,瓦里斯,惠更斯,約翰·伯努里,萊布尼茲,牛頓等等)熱心於研究這一曲線的性質.17 世紀是人們對數學力學和數學運動學愛好的年代,這能解釋人們為什麼對擺線懷有強烈的興趣。在這一時期,伴隨著許多發現,也出現了眾多有關發現權的爭議,剽竊的指責,以及抹煞他人工作的現象。這樣,作為一種結果,擺線被貼上了引發爭議的「金蘋果」和「幾何的海倫」 的標籤。

5相關故事

動手驗證
如果你用硬紙板剪一個圓,在圓的邊緣固定一枝鉛筆,當這圓沿一條直線滾動時,鉛筆便會畫出一條擺線來.相信這樣的玩具許多人都已經看過玩過,以前的街上,常會看到街邊小販再兜售這種擺線玩具,許多人讚歎擺線的美麗,但卻不知擺線與時鐘的相關性.鐘錶店裡面那些有鐘擺的時鐘,都是利用擺線性質製作出來的.由於擺線的發現,使得精確時鐘的製作不是夢想.這也使人類科技向前邁進一大步.

6基本原理

擺線針輪行星傳動中,擺線輪齒廓曲線運用內嚙合發生圓產生的短幅外擺線。這種擺線曲線的生成原理如詞條圖所示。
有一發生圓(滾圓)半徑為rp',基圓半徑為rc',基圓內切於發生圓,當發生圓繞基圓作純滾動,其圓心Op分別處於Op1、Op2、Op3、Op4、Op5、Op6......各位置時,由此固結在發生圓平面上的點M分別經過M1、M2、M3、M4、M5、M6......各位置,由此發生圓周期滾動,發生圓上點M所形成的軌跡曲線即為短幅外擺線。
由以上擺線生成的幾何關係 若仍保持以上的內切滾動關係,將基圓和擺線視為剛體相對於發生圓運動,則形成了擺線圖形相對發生圓圓心Op作行星方式的運動,這就是行星擺線傳動機構的基本原理。
更多曲線參見曲線列表

7最速降線

在一個斜面上,擺兩條軌道,一條是直線,一條是曲線,起點高度以及終點高度都相同。兩個質量、大小一樣的小球同時從起點向下滑落,曲線的小球反而先到終點。這是由於曲線軌道上的小球先達到最高速度,所以先到達。然而,兩點之間的直線只有一條,曲線卻有無數條,那麼,哪一條才是最快的呢?伽利略與1630年提出了這個問題,當時他認為這條線應該是一條弧線,可是後來人們發現這個答案是錯誤的。1696年,瑞士數學家約翰·伯努利解決了這個問題,他還拿這個問題向其他數學家提出了公開挑戰。牛頓、萊布尼茲、洛比達以及雅克布·伯努利等解決了這個問題。這條最速降線就是一條擺線,也叫旋輪線。
義大利科學家伽利略在1630年提出一個分析學的基本問題——「一個質點在重力作用下,從一個給定點到不在它垂直下方的另一點,如果不計摩擦力,問沿著什麼曲線滑下所需時間最短。」。他說這曲線是圓,可是這是一個錯誤的答案。
瑞士數學家約翰.伯努利在1696年再提出這個最速降線的問題(problem of brachistochrone),徵求解答。次年已有多位數學家得到正確答案,其中包括牛頓、萊布尼茲、洛必達和伯努利家族的成員。這問題的正確答案是連接兩個點上凹的唯一一段旋輪線。
旋輪線與1673年荷蘭科學家惠更斯討論的擺線相同。因為鐘錶擺錘作一次完全擺動所用的時間相等,所以擺線(旋輪線)又稱等時曲線。
看一個稍微有點振奮人心的東東,Johann Bernoulli 對最速降線問題的beautiful解答:
如果使分成的層數n無限地增加,即每層的厚度無限地變薄,則質點的運動便趨於空間A、B兩點間質點運動的真實情況,此時折線也就無限增多,其形狀就趨近我們所要求的曲線——最速降線.而折線的每一段趨向於曲線的切線,因而得出最速降線的一個重要性質:任意一點上切線和鉛垂線所成的角度的正弦與該點落下的高度的平方根的比是常數.而具有這種性質的曲線就是擺線.所謂擺線,它是一個圓沿著一條直線滾動(無滑動)時,圓周上任意一點的軌跡。
因此,最速降線就是擺線,只不過在最速降線問題中,這條擺線是上、下顛倒過來的罷了.
以上便是Johann Bernoulli當時所給最速降線問題的解答.當然,這個解答在理論上並不算十分嚴謹的.但是,這個解答所蘊含的基本觀點的發展,導致了一門新的學科——變分學.最速降線問題的最終而完備的解答,需要用到變分學的知識.

8證明式

擺線的證明式如下圖:
證明1

  證明1

證明2

  證明2

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