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攝動函數的展開問題

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1 攝動函數的展開問題 -攝動函數的展開問題

 

2 攝動函數的展開問題 -正文

  在天體力學中,所有的分析方法都要對受攝運動方程進行積分,除個別情況外,在積分前,一般必須把攝動函數展開為時間以及所選擇變數的顯函數,這就是攝動函數的展開問題。這個問題是攝動理論中的基本課題之一。攝動函數展開式的收斂快慢,在一定程度上決定相應的攝動理論的使用效果。
  經典的展開方法是將攝動函數展開為冪級數和三角級數的混合級數,它又稱泊松級數。以三體問題為例,攝動函數中包含被攝動天體和攝動天體的軌道要素和時間,而時間則隱含在天體的近點角內。在瞬時軌道為橢圓的情況下,攝動函數展開為兩個天體的軌道半長徑之比α=α/α′、偏心率е、е′和兩個軌道面交角I一半的正弦sin(I/2)的冪級數,以及平近點角和其他軌道要素(或有關輔助量)的三角級數。當α、е和е′接近於1以及I較大時,展開式收斂得很慢,甚至不收斂。因此,攝動函數的展開問題實際上就是改進展開式的收斂性問題。二十世紀四十年代以後,不少人研究了各種改進方法。研究得最多的是α接近於1的情況。主要採用的方法有:①用複變函數的線性變換使奇點離變數的應用範圍更遠些,從而改進展開式的收斂性;②分出形式為(1—α2)-s的因子或有關項(s為正有理數),再討論其餘項的展開,從而迴避α接近於1時的困難;③以中間軌道的攝動函數展開式作為基礎,在相應的改正項中只出現天體之間距離的正冪次項,因而不存在α接近於1的困難;④找出既適用於α<1,也適用於α>1的更一般的展開式,以便適用於投影相交軌道情況(如海王星和冥王星的軌道)。以上幾種方法都處於試用階段,但已取得很多成果。
  對於I較大時產生的困難,主要用兩種辦法解決:①不展開為sin(I/2)的冪級數,而展開為I的三角級數;②展開為cosI的冪級數。另外,不少人用兩個天體的瞬時軌道對某慣性參考面的傾角ii′來代替I。對於偏心率ee′較大時產生的困難,雖然有一些解決辦法,例如用e=sinφe′=sinφ′,把攝動函數展開為φφ′的三角級數,但效果仍不好,故這個困難依然存在。正因為如此,對於大偏心率軌道的攝動問題(如一些彗星、月球火箭等),還只能用數值方法進行研究。除上述困難外,當兩個天體的瞬時軌道的平均角速度接近通約時,在積分受攝運動方程也會出現小分母的困難,這可用共振理論的方法解決。

 

3 攝動函數的展開問題 -配圖

 

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