1散度(divergence)的概念

divF=▽·F 在矢量場F中的任一點M處作一個包圍該點的任意閉合曲面S,當S所限定的區域直徑趨近於0時,比值∮F·dS/ΔV的極限稱為矢量場F在點M處的散度,並記作divF
由散度的定義可知,divF表示在點M處的單位體積內散發出來的矢量F的通量,所以divF描述了通量源的密度。
散度的重要性在於,可用於表徵空間各點矢量場發散的強弱程度,當divF>0 ,表示該點有散發通量的正源;當div F<0 表示該點有吸收通量的負源;當div F=0,表示該點為無源場。
從定義中可以看出,散度是向量場的一種強度性質,就如同密度、濃度、溫度一樣,它對應的廣延性質是一個封閉區域表面的通量,所以說散度是通量的體密度。物理上,散度的意義是場的有源性。某一點或某個區域的散度大於零,表示向量場在這一點或這一區域有新的通量產生,小於零則表示向量場在這一點或區域有通量湮滅。這樣的點或區域分別稱為向量場的正源(發散源)和負源(洞)。舉例來說,假設將太空中各個點的熱輻射強度向量看做一個向量場,那麼某個熱輻射源(比如太陽)周邊的熱輻射強度向量都指向外,說明太陽是不斷產生新的熱輻射的源頭,其散度大於零。
散度等於零的區域稱為無源場或管形場。流體力學中,散度為零的流體稱為不可壓縮流體,也就是說此流體中不會有一部分憑空消失或突然產生,每個微小時間間隔中流入一個微小體元的流體總量都等於在此時間間隔內流出此體元的流體總量。

2高斯散度定理

既然向量場某一處的散度是向量場在該處附近通量的體密度,那麼對某一個體積內的散度進行積分,就應該得到這個體積內的總通量。事實上可以證明這個推論是正確的,稱為高斯散度定理。高斯定理說明,如果在體積V內的向量場A擁有散度,那麼散度的體積分等於向量場在V的表面S的面積分。

3運演算法則

div (α A + β B ) = αdivA+βdivB (α,β為常數)
div (u A ) =udivA+A grad u(u為數性函數)

4應用

氣象學中
散度可以表示流體運動時單位體積的改變率。
散度

  散度

簡單地說,流體在運動中集中的區域為輻合,運動中發散的區域為輻散。用以表示的量稱為散度,值為負時為輻合,此時有利於天氣系統的的發展和增強,為正時表示輻散,有利於天氣系統的消散。表示輻合、輻散的物理量為散度。
微積分學→多元微積分→多元函數積分:
設某量場由A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 給出,其中 P、Q、R 具有一階連續偏導數,Σ 是場內一有向曲面,n 是 Σ 在點 (x,y,z) 處的單位法向量,則 ∫∫A·ndS 叫做向量場 A 通過曲面 Σ 向著指定側的通量,而 δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量場 A 的散度,記作 div A,即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。
上述式子中的 δ 為偏微分(partial derivative)符號。

流體力學

散度等於零的區域稱為無源場或管形場。流體力學中,散度為零的流體稱為不可壓縮流體,也就是說此流體中不會有一部分憑空消失或突然產生,每個微小時間間隔中流入一個微小體元的流體總量都等於在此時間間隔內流出此體元的流體總量。
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