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整環
整環是抽象代數中最基本的概念之一。
一個環是一個集合 A 以及它上面的兩種運算,分別稱為「加法」(+)和「乘法」(*),滿足以下條件:
1、A 關於加法成為一個 Abel 群(其零元素記作 0);
2、乘法滿足結合律:(a * b) * c = a * (b * c);
3、乘法對加法滿足分配律:a * (b + c) = a * b + a * c, (a + b) * c = a * c + b * c;
如果環 A 還滿足以下乘法交換律,則稱為「交換環」:
4、乘法交換律:a * b = b * a。
如果交換環 A 還滿足以下兩條件,就稱為「整環」:
5、A 中存在非零的乘法單位元,即存在 A 中的一個元素,記作 1,滿足:1 不等於 0,且對任意 a,有:1 * a = a * 1 = a;
6、ab=0 => a=0 或 b=0。
例:
1、整數環是整環。
2、整環上的多項式環仍是整環。
3、當 n>1 時,任意環上的n階矩陣環不是整環。

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