標籤:高等數學微分

根據函數在一些離散點的函數值,推算它在某點的導數或某高階導數的近似值。通常用差商代替微商,或用一能近似代替該函數的較簡單的函數(如多項式、樣條函數)的相應導數作為所求導數的近似值。

1簡介

數值微分(numerical differentiation)根據函數在一些離散點的函數值,推算它在某點的導數或高階導數的近似值的方法。通常用差商代替微商,或者用一個能夠近似代替該函數的較簡單的可微函數(如多項式或樣條函數等)的相應導數作為能求導數的近似值。例如一些常用的數值微分公式(如兩點公式、三點公式等)就是在等距步長情形下用插值多項式的導數作為近似值的。此外,還可以採用待定係數法建立各階導數的數值微分公式,並且用外推技術來提高所求近似值的精確度。當函數可微性不太好時,利用樣條插值進行數值微分要比多項式插值更適宜。如果離散點上的數據有不容忽視的隨機誤差,應該用曲線擬合代替函數插值,然後用擬合曲線的導數作為所求導數的近似值,這種做法可以起到減少隨機誤差的作用。數值微分公式還是微分方程數值解法的重要依據。

2舉例說明

根據函數在一些離散點的函數值,推算它在某點的導數或某高階導數的近似值。通常用差商代替微商,或用一能近似代替該函數的較簡單的函數(如多項式、樣條函數)的相應導數作為所求導數的近似值。例如,對帶余項的插值公式ƒ(x)=I(x)+R(x)取k階導數就得到帶余項的數值微分公
公式1

  公式1

,這裡插值函數I(x)的k階導數I(k)(x)即為所求k階導數 ƒ(k)(x)的近似值,而插值函數余項R(x)的k階導數R(k)(x)則給出此近似值的截斷誤差。  
通常利用多項式插值進行數值微分。設函數ƒ(x)在n+1個等距點xv=α+vh(v=0,1,…,n)上的值ƒv=ƒ(xv)為已知,則通過低次插值可導出一些最基本和常用的數值微分公式,例如,兩點公式 三點公式等等。此外,利用具有n+1個等距節點的拉格朗日插值公式,還可導出在節點xj(i=0,1,…,n)上的較為一般的數值微分公式
這裡Ai,v、Bi,v僅與niv有關,而相應的截斷誤差可分別表成式中因此,當節點的個數n+1固定時,間距h愈小,
公式

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則截斷誤差也愈小。但是這時係數絕對值之和隨h的變小而劇增,所以函數值ƒv的舍入誤差對近似導數的影響也隨h的變小而劇增。因此,h並非愈小愈好,而是要適中,這是數值微分不同於某些插值之處。如果函數ƒ(x)有很好的可微性,即存在絕對值不太大的較高階導數,則寧取間距稍大而個數稍多的節點。當ƒ(x)在節點分佈的整個區間上的可微性不太好時,利用樣條插值進行數值微分比利用多項式插值更適宜,只是計算量要大得多。
如果數據ƒv帶有不容忽視的隨機誤差,而其對應的自變數分佈甚密,就應該用曲線擬合代替上述函數插值,然後用擬合曲線的導數作為函數ƒ(x)的導數的近似值。這樣求得的導數叫做磨光的導數。
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