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求定積分的近似值的數值方法。即用被積函數的有限個抽樣值的離散或加權平均近似值代替定積分的值。

1 數值積分 -數值積分

 

2 數值積分 -正文

  用被積函數的有限個抽樣值的離散和或加權平均值近似地代替定積分的值。在求函數ƒ(x)的定積分數值積分時,常常無法用初等函數表示原函數數值積分,因此能按牛頓-萊布尼茨公式

數值積分  (1)

計算積分值的定積分是不多的。另外,當ƒ(x)是列表函數時,也不能使用式(1)計算它的積分值。上述事實說明,必須研究近似估算積分的數值積分方法。歷史上,阿基米德、I.牛頓、L.歐拉、C.F.高斯、∏.Л.切比雪夫等人都對此有過貢獻。
  數值積分公式  一般是形如

數值積分  (2)

的近似公式,又稱求積公式,xjAj(i=0,1,…,m)分別稱為求積結點和求積係數,通常xj∈【α,b】;式(2)右端稱為求積和;兩端之差

數值積分

稱為求積余項或求積誤差;區間【αb】可以是有限的或無限的。 構造求積公式的問題就是確定xjAj使得E(ƒ)在某種意義下儘可能地小。
  代數精度  若式(2)對ƒ(x)=xk(k=0,1,…,d)精確成立,亦即E(ƒ)=0,而當ƒ(x)=x數值積分時(2)不再是精確等式,則說求積公式(2)的代數精度是d。根據K.外爾斯特拉斯的多項式逼近定理,就一般的連續函數ƒ而言,d越大E(ƒ)越小,因此可以用代數精度的高低說明求積公式的優劣。
  插值型求積公式  通過插值途徑構成的求積公式。用ƒ(x)的以x0,x1,…,xm為結點的插值多項式

數值積分,

數值積分,

數值積分,

近似替代ƒ(x)后,經過積分可以得到形如(2)的插值型求積公式,其中求積係數

數值積分。  (3)

特別,若所有的xj都屬於【α,b】,則稱它為內插型求積公式。這是一類最基本的求積公式。由於m+1個結點的插值型求積公式的代數精度至少是m,所以具有一定代數精度的求積公式總是存在的。
  牛頓-科茨公式  等距結點情形下的權函數為1的內插型求積公式。設[αb]為有限區間,ω(x)呏1。取數值積分,Aj由式(3)確定,則求積公式

數值積分  (4)

稱為[α,b]上的m+1點牛頓-科茨公式,它的代數精度至少是m。當m=1時,式(4)變成

數值積分,

此式右端等於以ƒ(α)和ƒ(b)為底,以b-α為高的梯形的面積值,故通稱為梯形公式,它的代數精度是1。若ƒ″(x)在【αb】上連續,則通過積分插值余項,可知它的求積誤差為

數值積分

m=2時,式(4)變成

數值積分

這是辛普森公式,由於求積結點選得恰當,它的代數精度是3。當ƒ(4)(x)在[α,b]上連續時,它的求積誤差為

數值積分

m≥10,牛頓-科茨公式中的求積係數總有一些是負的。這樣的公式在計算上會帶來較大的誤差,一般不被採用。
  由上述兩個求積公式的誤差表達式看出,積分區間越小,求積誤差就越小。因此為了提高求積精度,可使用復化求積公式。若用分點數值積分數值積分將【α,bn等分,然後對每個子區間【xj,xj+1】應用梯形公式,並對i=0,1,…,n-1求和,即得復化梯形公式

數值積分

若用分點數值積分將【α,b】2n等分,然後對子區間【x2j,x2j+2】應用辛普森公式,並對i=0,1,…,n-1求和,即得復化辛普森公式 數值積分
  逐次分半演算法和龍貝格公式  遞推關係和逐次分半演算法是數值方法的重要技巧,可用以節省計算時間和計算機的存儲量。龍貝格求積方法正是利用逐次分半演算法和遞推關係構成的一種在現代計算機上十分有效的數值積分法。
  下面以梯形公式為例說明逐次分半演算法。在整個區間【α,b】上應用梯形公式算出積分近似值T1;將【α,b】二等分,應用n=2的復化梯形公式算出T2;再將每個小區間二等分(即將[α,b]四等分),應用n=4的復化梯形公式算出T4,如此進行,可得T1,T2,T4,…。在計算T2n時可利用已算出的Tn值:

數值積分,

式中

數值積分

為復化中矩形公式,這樣,只需要計算ƒ(x)的n個新值即可從Tn得到T2n。顯然,逐次分半演算法充分地利用了前次的計算結果。
  比較復化公式S2nT2nTn發現, 適當地組合T2nTn可得到代數精度為3的辛普森公式,即有

數值積分

同樣,適當組合S4nS2n可得到代數精度為5的求積公式

數值積分

如此可以引出一系列新公式(遞推關係):

數值積分

此處,T數值積分Tn。上式的代數精度是2k+1。通常稱上式為逐次分半加速公式或龍貝格公式。實際計算可按表1數值積分所示進行:當對角線上相鄰兩個近似值數值積分數值積分之差的絕對值小於允許誤差時,計算即可停止,並取數值積分為積分近似值。
  高斯型公式  一類具有最高的代數精度的內插型求積公式(表2數值積分)。求積公式(2)含有2(m+1)個自由參數(xjAj),恰當選擇這些參數,能使公式(2)的代數精度達到2m+1。高斯求積理論中的一個基本定理斷言:只要把結點x0,x1,…,xm取為區間[α,b]上關於權函數ω(x)的m+1次正交多項式的零點,內插型求積公式(2)即達到最高代數精度2m+1。這裡【αb】可以是有限或無限區間,ω(x)為取正值的權函數。
  許多有關數值積分的論著都列舉出各種高斯型公式的結點和係數的數值。可以證明:對每個連續函數,當結點個數趨於無窮時,高斯型公式所給出的近似值序列收斂到相應積分的精確值,而牛頓-科茨公式則不具有這種性質。
  高維數值積分的主要方法有蒙特卡羅法、代數方法和數論方法。

 

3 數值積分 -配圖

 

4 數值積分 -相關連接

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