標籤: 暫無標籤

按一定次序排列的一列數稱為數列(sequence of number)。數列中的每一個數都叫做這個數列的項。排在第一位的數稱為這個數列的第1項(通常也叫做首項),排在第二位的數稱為這個數列的第2項……排在第n位的數稱為這個數列的第n項。

1 數列 -數列定義

    按一定次序排列的一列數稱為數列(sequence of number)。數列中的每一個數都叫做這個數列的項。排在第一位的數稱為這個數列的第1項(通常也叫做首項),排在第二位的數稱為這個數列的第2項……排在第n位的數稱為這個數列的第n項。

2 數列 -概念

               數列的一般形式可以寫成
  a1,a2,a3,…,an,…
  簡記為{an},項數有限的數列為「有窮數列」(finite sequence),項數無限的數列為「無窮數列」(infinite sequence)。
  從第2項起,每一項都大於它的前一項的數列叫做遞增數列;如:1,2,3,4,5,6,7
  從第2項起,每一項都小於它的前一項的數列叫做遞減數列;如:8,7,6,5,4,3,2,1
  從第2項起,有些項大於它的前一項,有些項小於它的前一項的數列叫做擺動數列;
  各項呈周期性變化的數列叫做周期數列(如三角函數);
  各項相等的數列叫做常數列。如:2,2,2,2,2,2,2,2,2
  通項公式:數列的第N項an與項的序數n之間的關係可以用一個公式表示,這個公式就叫做這個數列的通項公式。(註:通項公式不唯一)
  遞推公式:如果數列{an}的第n項與它前一項或幾項的關係可以用一個式子來表示,那麼這個公式叫做這個數列的遞推公式。
  數列中數的總數為數列的項數。特別地,數列可以看成以正整數集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})為定義域的函數an=f(n)。
  如果可以用一個公式來表示,則它的通項公式是a(n)=f(n). 

表示方法

  如果數列{an}的第n項與序號n之間的關係可以用一個式子來表示,那麼這個公式叫做這個數列的通項公式。如an=(-1)^(n+1)+1。
  數列通項公式的特點:(1)有些數列的通項公式可以有不同形式,即不唯一。(2)有些數列沒有通項公式
  如果數列{an}的第n項與它前一項或幾項的關係可以用一個式子來表示,那麼這個公式叫做這個數列的遞推公式。如an=2a(n-1)+1 (n>1)    。

3 數列 -等差數列

              定義
  一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差等於同一個常數,這個數列就叫做等差數列(arithmetic sequence),這個常數叫做等差數列的公差(common difference),公差通常用字母d表示。
縮寫
  等差數列可以縮寫為A.P.(Arithmetic Progression)。
等差中項
  由三個數a,A,b組成的等差數列可以堪稱最簡單的等差數列。這時,A叫做a與b的等差中項(arithmetic mean)。
  有關係:A=(a+b)/2
通項公式
  an=a1+(n-1)d
  an=Sn-S(n-1) (n≥2)
  an=kn+b(k,b為常數)
前n項和
  Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2
  Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n
性質
  且任意兩項am,an的關係為:
  an=am+(n-m)d
  它可以看作等差數列廣義的通項公式。
  從等差數列的定義、通項公式,前n項和公式還可推出:
  a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}
  若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則有
  am+an=ap+aq
  S2n-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1
  Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…成等差數列,等等。
  和=(首項+末項)×項數÷2
  項數=(末項-首項)÷公差+1
  首項=2和÷項數-末項
  末項=2和÷項數-首項
  設a1,a2,a3為等差數列。則a2為等差中項,則2倍的a2等於a1+a3,即2a2=a1+a3。
應用
  日常生活中,人們常常用到等差數列如:在給各種產品的尺寸劃分級別
  時,當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時,常按等差數列進行分級。
  若為等差數列,且有an=m,am=n.則a(m+n)=0。 

4 數列 -等比數列

        定義
  一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比等於同一個常數,這個數列就叫做等比數列(geometric sequence)。這個常數叫做等比數列的公比(common ratio),公比通常用字母q表示。
縮寫
  等比數列可以縮寫為G.P.(Geometric Progression)。
等比中項
  如果在a與b中間插入一個數G,使a,G,b成等比數列,那麼G叫做a與b的等比中項。
  有關係:G^2=ab;G=±(ab)^(1/2)
  註:兩個非零同號的實數的等比中項有兩個,它們互為相反數,所以G^2=ab是a,G,b三數成等比數列的必要不充分條件。
通項公式
  an=a1q^(n-1)
  an=Sn-S(n-1) (n≥2)
前n項和
  當q≠1時,等比數列的前n項和的公式為
  Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
  當q=1時,等比數列的前n項和的公式為
  Sn=na1
性質
  任意兩項am,an的關係為an=am·q^(n-m)
  (3)從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出: a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}
  (4)等比中項:aq·ap=ar^2,ar則為ap,aq等比中項。
  記πn=a1·a2…an,則有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
  另外,一個各項均為正數的等比數列各項取同底數數后構成一個等差數列;反之,以任一個正數C為底,用一個等差數列的各項做指數構造冪Can,則是等比數列。在這個意義下,我們說:一個正項等比數列與等差數列是「同構」的。
  性質:
  ①若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,則am·an=ap·aq;
  ②在等比數列中,依次每 k項之和仍成等比數列.
  「G是a、b的等比中項」「G^2=ab(G≠0)」.
  (5) 等比數列前n項之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
  在等比數列中,首項A1與公比q都不為零.
  注意:上述公式中A^n表示A的n次方。
應用
  等比數列在生活中也是常常運用的。
  如:銀行有一種支付利息的方式---複利。
  即把前一期的利息和本金價在一起算作本金,
  再計算下一期的利息,也就是人們通常說的利滾利。
  按照複利計算本利和的公式:本利和=本金*(1+利率)^存期
  如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比等於同一個常數,這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。
  (1)等比數列的通項公式是:An=A1*q^(n-1)
  若通項公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當q>0時,則可把an看作自變數n的函數,點(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點。
  (2)求和公式:Sn=nA1(q=1)
  Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
  =(a1-a1q^n)/(1-q)
  =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
  (前提:q不等於 1)
  任意兩項am,an的關係為an=am·q^(n-m)
  (3)從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出: a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}
  (4)等比中項:aq·ap=ar^2,ar則為ap,aq等比中項。
  記πn=a1·a2…an,則有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
  另外,一個各項均為正數的等比數列各項取同底數后構成一個等差數列;反之,以任一個正數C為底,用一個等差數列的各項做指數構造冪Can,則是等比數列。在這個意義下,我們說:一個正項等比數列與等差數列是「同構」的。       

5 數列 -等和數列

                                                                                                                                                                                                                                                                                                 定義
  「等和數列」:在一個數列中,如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數,那麼這個數列叫做等和數列,這個常數叫做該數列的公和。
  對一個數列,如果其任意的連續k(k≥2)項的和都相等,我們就把此數列叫做等和數列
性質
  必定是循環數列
練習
  1、下面一列整數中(每個字母或括弧都代表一個整數),任意相臨的3個整數的和都是20,則x+y+z=? x,2,(),(),(),4,(),y,(),(),z
  2、(2004年湖南省理科實驗班聯合招生考試數學卷第2試第三題) 圓周上放著120個正數(不一定是整數),今知其中任何相連的35個數的和都是200.證明:這些數中的每一個數都不超過30.(旁註:題目中「相連」即「相臨」之意) 答案: 第1題 : x=14,y=2,z=2 , 故: x+y+z=18 ; 第2題 : (120,35)=5 ,使5個數為一組,每7組的和是200,那麼每組有 200/7<30 所以每一個數都不超過30。列的通項求法
一般有

  an=Sn-Sn-1 (n≥2)
  累和法(an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...將以上各項相加可得an)。
  逐商全乘法(對於后一項與前一項商中含有未知數的數列)。
  化歸法(將數列變形,使原數列的倒數或與某同一常數的和成等差或等比數列)。
特別的

  在等差數列中,總有Sn S2n-Sn S3n-S2n
  2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn
  即三者是等差數列,同樣在等比數列中。三者成等比數列
  不動點法(常用於分式的通項遞推關係)
  不動點法求數列通項
  對於某些特定形式的數列遞推式可用不動點法來求
  冪次數列表:
  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
  2 2 4 8 16 32 64 128 258 512 1024
  3 3 9 27 81 243 729
  4 4 16 64 256 1024
  5 5 25 125 625
  6 6 36 216 1296

6 數列 -特殊數列的通項的寫法

       1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n
  1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n
  2,4,6,8,10,12,14.......-------an=2n
  1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1
  -1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^n
  1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^(n+1)
  1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....------an=[(-1)^(n+1)+1]/2
  1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2
  9,99,999,9999,99999,......... ------an=(10^n)-1
  1,11,111,1111,11111.......--------an=[(10^n)-1]/9
  衍生n,nn,nnn,nnnn,nnnnn......---------an=[(10^n)-1]*n/9,n為1-9的整數
  1,4,9,16,25,36,49,.......------an=n^2
  1,2,4,8,16,32......--------an=2^(n-1)

7 數列 -數列前N項和公式的求法

(一)1.等差數列:
  通項公式an=a1+(n-1)d 首項a1,公差d, an第n項數
  ak=ak+(n-k)d ak為第k項數
  若a,A,b構成等差數列 則 A=(a+b)/2
  2.等差數列前n項和:
  設等差數列的前n項和為Sn
  即 Sn=a1+a2+...+an;
  那麼 Sn=na1+n(n-1)d/2
  =dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n
  還有以下的求和方法: 1,不完全歸納法 2 累加法 3 倒序相加法
  (二)1.等比數列:
  通項公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1為首項,an為第n項
  an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)
  則an/am=q^(n-m)
  (1)an=am*q^(n-m)
  (2)a,G,b 若構成等比中項,則G^2=ab (a,b,G不等於0)
  (3)若m+n=p+q 則 am×an=ap×aq
  2.等比數列前n項和
  設 a1,a2,a3...an構成等比數列
  前n項和Sn=a1+a2+a3...an
  Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(這個公式雖然是最基本公式,但一部分題目中求前n項和是很難用下面那個公式推導的,這時可能要直接從基本公式推導過去,所以希望這 個公式也要理解)
  Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);
  注: q不等於1;
  Sn=na1 注:q=1
  求和一般有以下5個方法: 1,完全歸納法(即數學歸納法) 2 累乘法 3 錯位相減法 4 倒序求和法 5 裂項相消法

8 數列 -著名的數列

     等差數列典型例題:
  1/(1x(1+1))+1/(2x(2+1))+1/(3x(3+1))+1/(4x(4+1))+1/(5x(5+1))...............1/(n(n+1)) 求Sn
  解析:
  Sn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5).............[1/n-1/(n+1)]
  =1-1/(n+1)
  大衍數列 0、2、4、8、12、18、24、32、40、50------
  通項式:
  an=(n×n-1)÷2 (n為奇數)
  an=n×n÷2 (n為偶數)
  前n項和公式:
  Sn = (n-1)(n+1)(2n+3)÷12 (n為奇數)
  Sn = n(n+2)(2n-1)÷12 (n為偶數)
  大衍數列來源於《乾坤譜》,用於生原理。
  斐波那契數列 1、1、2、3、5、8、13、21、……
  遞推公式為:F(1)=1,F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)
  通項式
  F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
  這樣一個完全是自然數的數列,通項公式居然是用無理數來表達的。
  還可以發現 Sn-2 +Sn -1=Sn
上一篇[鼎派紅酒加盟網]    下一篇 [對數函數]

相關評論

同義詞:暫無同義詞