1定義

設 {Xn} 為實數列,a 為定數.若對任給的正數 ε,總存在正整數N,使得當 n>N 時有∣Xn-a∣<ε 則稱數列{Xn}收斂於a,定數 a 稱為數列 {Xn} 的極限,並記作
數列極限表達式

  數列極限表達式

,或Xn→a(n→∞)
讀作「當 n 趨於無窮大時,{Xn} 的極限等於 或 趨於 a」.
若數列 {Xn} 沒有極限,則稱 {Xn} 不收斂,或稱 {Xn} 為發散數列
該定義常稱為數列極限的 ε—N定義

2ε的雙重性

相應性
一般說,N隨ε的變小而變大,由此常把N寫作N(ε),來強調N是依賴於ε的;但這並不意味著N是由ε所唯一確定的,因為對給定的 ,比如當N=100時,能使得當n>N時有xn-a|<ε,則N=101或更大時此不等式自然也成立.這裡重要的是N的存在性,而不在於它的值的大小.另外,定義1中的,n>N也可改寫成n≧N.

3幾何意義

當n>N時,所有的點xn都落在(a-ε,a+ε)內,只有有限個(至多只有n個)在其外。
如下圖
數列極限
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