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數學思想,是指現實世界的空間形式和數量關係反映到人們的意識之中,經過思維活動而產生的結果。數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識;基本數學思想則是體現或應該體現於基礎數學中的具有奠基性、總結性和最廣泛的數學思想,它們含有傳統數學思想的精華和現代數學思想的基本特徵,並且是歷史地發展著的。通過數學思想的培養,數學的能力才會有一個大幅度的提高。掌握數學思想,就是掌握數學的精髓。

1函數方程

函數思想,是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想,是從問題的數量關係入手,運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組),然後通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解。有時,還實現函數與方程的互相轉化、接軌,達到解決問題的目的。
笛卡爾的方程思想是:實際問題→數學問題→代數問題→方程問題。宇宙世界,充斥著等式和不等式。我們知道,哪裡有等式,哪裡就有方程;哪裡有公式,哪裡就有方程;求值問題是通過解方程來實現的……等等;不等式問題也與方程是近親,密切相關。列方程、解方程和研究方程的特性,都是應用方程思想時需要重點考慮的。
函數描述了自然界中數量之間的關係,函數思想通過提出問題的數學特徵,建立函數關係型的數學模型,從而進行研究。它體現了「聯繫和變化」的辯證唯物主義觀點。一般地,函數思想是構造函數從而利用函數的性質解題,經常利用的性質是:f(x)、f (x)的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等,要求我們熟練掌握的是一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特性。在解決問題中,善於挖掘題目中的隱含條件,構造出函數解析式和妙用函數的性質,是應用函數思想的關鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時,才能產生由此及彼的聯繫,構造出函數原型。另外,方程問題、不等式問題、集合問題、數列問題和某些代數問題也可以轉化為與其相關的函數問題,即用函數思想解答非函數問題。
函數知識涉及的知識點多、面廣,在概念性、應用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的重點。我們應用函數思想的幾種常見題型是:遇到變數,構造函數關係解題;有關的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題,利用函數觀點加以分析;含有多個變數的數學問題中,選定合適的主變數,從而揭示其中的函數關係;實際應用問題,翻譯成數學語言,建立數學模型和函數關係式,應用函數性質或不等式等知識解答;等差、等比數列中,通項公式、前n項和的公式,都可以看成n的函數,數列問題也可以用函數方法解決。

2數形結合

「數無形,少直觀,形無數,難入微」,利用「數形結合」可使所要研究的問題化難為易,化繁為簡。把代數和幾何相結合,例如對幾何問題用代數方法解答,對代數問題用幾何方法解答,這種方法在解析幾何里最常用。例如求根號((a-1)^2+(b-1)^2)+根號(a^2+(b-1)^2)+根號((a-1)^2+b^2)+根號(a^2+b^2)的最小值,就可以把它放在坐標系中,把它轉化成一個點到(0,1)、(1,0)、(0,0)、(1,1)四點的距離,就可以求出它的最小值。

3分類與整合

當一個問題因為某種量或圖形的情況不同而有可能引起問題的結果不同時,需要對這個量或圖形的各種情況進行分類討論。比如解不等式|a-1|>4的時候,就要分類討論a的取值情況。

4方程思想

當一個問題可能與某個方程建立關聯時,可以構造方程並對方程的性質進行研究以解決這個問題。例如證明柯西不等式的時候,就可以把柯西不等式轉化成一個二次方程的判別式。

5整體思想

從問題的整體性質出發,突出對問題的整體結構的分析和改造,發現問題的整體結構特徵,善於用「集成」的眼光,把某些式子或圖形看成一個整體,把握它們之間的關聯,進行有目的的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數式的化簡與求值、解方程(組)、幾何解證等方面都有廣泛的應用,整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在解數學問題中的具體運用。

6轉化思想

在於將未知的,陌生的,複雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的,熟悉的,簡單的問題。三角函數,幾何變換,因式分解,解析幾何,微積分,乃至古代數學的尺規作等數學理論無不滲透著轉化的思想。常見的轉化方式有:一般 特殊轉化,等價轉化,複雜 簡單轉化,數形轉化,構造轉化,聯想轉化,類比轉化等。
轉化思想亦可在狹義上稱為劃歸思想。化歸思想就是將待解決的或者難以解決的問題A經過某種轉化手段,轉化為有固定解決模式的或者容易解決的問題B,通過解決問題B來解決問題A的方法。

7隱含條件

沒有明文表述出來,但是根據已有的明文表述可以推斷出來的條件,或者是沒有明文表述,但是該條件是一個常規或者真理。

8類比思想

把兩個(或兩類)不同的數學對象進行比較,如果發現它們在某些方面有相同或類似之處,那麼就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。

9建模思想

為了描述一個實際現象更具科學性,邏輯性,客觀性和可重複性,人們採用一種普遍認為比較嚴格的語言來描述各種現象,這種語言就是數學。使用數學語言描述的事物就稱為數學模型。有時候我們需要做一些實驗,但這些實驗往往用抽象出來了的數學模型作為實際物體的代替而進行相應的實驗,實驗本身也是實際操作的一種理論替代。

10歸納推理

由某類事物的部分對象具有某些特徵,推出該類事物的全部對象都具有這些特徵的推理,或者由個別事實概括出一般結論的推理稱為歸納推理(簡稱歸納),簡言之,歸納推理是由部分到整體,由個別到一般的推理
另外,還有概率統計思想等數學思想,例如概率統計思想是指通過概率統計解決一些實際問題,如摸獎的中獎率、某次考試的綜合分析等等。另外,還可以用概率方法解決一些面積問題。
我來舉例子~~圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。
也可將圖對摺看,對稱以後關係現。
角平分線平行線,等腰三角形來添。
角平分線加垂線,三線合一試試看。
線段垂直平分線,常向兩端把線連。
要證線段倍與半,延長縮短可試驗。
三角形中兩中點,連接則成中位線。
三角形中有中線,延長中線等中線。
平行四邊形出現,對稱中心等分點。
梯形裡面作高線,平移一腰試試看。
平行移動對角線,補成三角形常見。
證相似,比線段,添線平行成習慣。
等積式子比例換,尋找線段很關鍵。
直接證明有困難,等量代換少麻煩。
斜邊上面作高線,比例中項一大片。
半徑與弦長計算,弦心距來中間站。
圓上若有一切線,切點圓心半徑連。
切線長度的計算,勾股定理最方便。
要想證明是切線,半徑垂線仔細辨。
是直徑,成半圓,想成直角徑連弦。
弧有中點圓心連,垂徑定理要記全。
圓周角邊兩條弦,直徑和弦端點連。
弦切角邊切線弦,同弧對角等找完。
要想作個外接圓,各邊作出中垂線。
還要作個內接圓,內角平分線夢圓
如果遇到相交圓,不要忘作公共弦。
內外相切的兩圓,經過切點公切線。
若是添上連心線,切點肯定在上面。
要作等角添個圓,證明題目少困難。
輔助線,是虛線,畫圖注意勿改變。
假如圖形較分散,對稱旋轉去實驗。
基本作圖很關鍵,平時掌握要熟練。
解題還要多心眼,經常總結方法顯。
切勿盲目亂添線,方法靈活應多變。
分析綜合方法選,困難再多也會減。
虛心勤學加苦練,成績上升成直線。
極限思想
極限思想是微積分的基本思想,數學分析中的一系列重要概念,如函數的連續性、導數以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。如果要問:「數學分析是一門什麼學科?」那麼可以概括地說:「數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科」。
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