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數學思想方法

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數學思想是指人們對數學理論和內容的本質的認識,數學方法是數學思想的具體化形式,實際上兩者的本質是相同的,差別只是站在不同的角度看問題。通常混稱為「數學思想方法」。常見的數學四大思想為:函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合。

1基礎概念

等價轉化
等價轉化是把未知解的問題轉化到在已有知識範圍內可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉化,把不熟悉、不規範、複雜的問題轉化為熟悉、規範甚至模式法、簡單的問題。歷年高考,等價轉化思想無處不見,我們要不斷培養和訓練自覺的轉化意識,將有利於強化解決數學問題中的應變能力,提高思維能力和技能、技巧。 轉化有等價轉化與非等價轉化。等價轉化要求轉化過程中前因後果是充分必要的,才保證轉化后的結果仍為原問題的結果。非等價轉化其過程是充分或必要的,要對結論進行
數學思想領悟

  數學思想領悟

必要的修正(如無理方程化有理方程要求驗根),它能給人帶來思維的閃光點,找到解決問題的突破口。我們在應用時一定要注意轉化的等價性與非等價性的不同要求,實施等價轉化時確保其等價性,保證邏輯上的正確。
著名的數學家,莫斯科大學教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數學奧林匹克參賽者發表《什麼叫解題》的演講時提出:「解題就是把要解題轉化為已經解過的題」。數學的解題過程,就是從未知向已知、從複雜到簡單的化歸轉換過程。
等價轉化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性。在應用等價轉化的思想方法去解決數學問題時,沒有一個統一的模式去進行。它可以在數與數、形與形、數與形之間進行轉換;它可以在宏觀上進行等價轉化,如在分析和解決實際問題的過程中,普通語言向數學語言的翻譯;它可以在符號系統內部實施轉換,即所說的恆等變形。消去法、換元法、數形結合法、求值求範圍問題等等,都體現了等價轉化思想,我們更是經常在函數、方程、不等式之間進行等價轉化。可以說,等價轉化是將恆等變形在代數式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由於其多樣性和靈活性,我們要合理地設計好轉化的途徑和方法,避免死搬硬套題型。
在數學操作中實施等價轉化時,我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原則,即把我們遇到的問題,通過轉化變成我們比較熟悉的問題來處理;或者將較為繁瑣、複雜的問題,變成比較簡單的問題,比如從超越式到代數式、從無理式到有理式、從分式到整式…等;或者比較難以解決、比較抽象的問題,轉化為比較直觀的問題,以便準確把握問題的求解過程,比如數形結合法;或者從非標準型向標準型進行轉化。按照這些原則進行數學操作,轉化過程省時省力,有如順水推舟,經常滲透等價轉化思想,可以提高解題的水平和能力。
數形結合
中學數學的基本知識分三類:一類是純粹數的知識,如實數、代數式、方程(組)、不等式(組)、函數等;一類是關於純粹形的知識,如平面幾何、立體幾何等;一類是關於數形結合的知識,主要體現是解析幾何。
數形結合是一個數學思想方法,包含「以形助數」和「以數輔形」兩個方面,其應用大致可以分為兩種情形:或者是藉助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯繫,即以形作為手段,數為目的,比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質;或者是藉助於數的精確性和規範嚴密性來闡明形的某些屬性,即以數作為手段,形作為目的,如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。
恩格斯曾說過:「數學是研究現實世界的量的關係與空間形式的科學。」數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯繫,既分析其代數意義,又揭示其幾何直觀,使數量關的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起,充分利用這種結合,尋找解題思路,使問題化難為易、化繁為簡,從而得到解決。「數」與「形」是一對矛盾,宇宙間萬物無不是「數」和「形」的矛盾的統一。華羅庚先生說過:「數缺形時少直觀,形少數時難入微,數形結合百般好,隔裂分家萬事休。 」
數形結合的思想,其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來,關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化,它可以使代數問題幾何化,幾何問題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問題時,要注意三點:第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特徵,對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義;第二是恰當設參、合理用參,建立關係,由數思形,以形想數,做好數形轉化;第三是正確確定參數的取值範圍。
數學中的知識,有的本身就可以看作是數形的結合。如:銳角三角函數的定義是藉助於直角三角形來定義的;任意角的三角函數是藉助於直角坐標系或單位圓來定義的。
數學思想在人類文明中的作用
1、數學與自然科學:
在天文學領域裡,在第谷·布拉埃觀察的基礎上,開普勒提出了天體運動三定律: (a)行星在橢圓軌道上繞太陽運動,太陽在此橢圓的一個焦點上。
(b)從太陽到行星的向徑在相等的時間內掃過的面積是F(如圖)。
(c)行星繞太陽公轉的周期的平方與橢圓軌道C的半長軸的立方成正比。
開普勒是世界上第一個用數學公式描述天體運動的人,他使天文學從古希臘的靜態幾何學轉化為動力學。這一定律出色地證明了畢達哥拉斯主義核心的數學原理。的確是,現象的數學結構提供了理解現象的鑰匙。
愛因斯坦的相對論是物理學中,乃至整個宇宙的一次偉大革命。其核心內容是時空觀的改變。牛頓力學的時空觀認為時間與空間不相干。愛因斯坦的時空觀卻認為時間和空間是相互聯繫的。促使愛因斯坦做出這一偉大貢獻的仍是數學的思維方式。愛因斯坦的空間概念是相對論誕生50年前德國數學家黎曼為他準備好的概念。
在生物學中,數學使生物學從經驗科學上升為理論科學,由定性科學轉變為定量科學。它們的結合與相互促進已經產生並將繼續產生許多奇妙的結果。生物學的問題促成了數學的一大分支——生物數學的誕生與發展,到今天生物數學已經成為一門完整的學科。它對生物學的新應用有以下三個方面:生命科學、生理學、腦科學。
2、數學與社會科學
如果說在自然科學中,更多的是運用數學的計算公式及計算能力;那麼在社會科學的領域中,就更能體現出數學思想的作用。
要藉助數學的思想,首先,必須發明一些基本公理,然後通過嚴密的數學推導證明,從這些公理中得出人類行為的定理。而公理又是如何產生的呢?藉助經驗和思考。而在社會學的領域中,公理自身應該有足夠的證據說明他們合乎人性,這樣人們才會接受。說到社會科學,就不免提一下數學在政治領域中的作用。休謨曾說:「政治可以轉化為一門科學」。而在政治學公理中,洛克的社會契約論具有非常重要的意義,它不僅僅是文藝復興時期的代表,也推動了整個社會的進步。西方的資產階級的文明比起封建社會的文明是進步了許多,但它必將被社會主義、共產主義文明所取代。共產黨人提出的「解放全人類」——為人民謀幸福、「為人民服務」和「三個代表」應當也必將成為政府的基本公理。
在政治中不能不提的便是民主,而民主最為直接的表現形式就是選舉。而數學在選票分配問題上發揮著重要作用。選票分配首先就是要公平,而如何才能做到公平呢?1952年數學家阿羅證明了一個令人吃驚的定理——阿羅不可能定理,即不可能找到一個公平合理的選舉系統。這就是說,只有相對合理,沒有絕對合理。原來世上本無「公平」!阿羅不可能定理是數學應用於社會科學的一個里程碑。
在經濟學中,數學的廣泛而深入的應用是當前經濟學最為深刻的變革之一。現代經濟學的發展對其自身的邏輯和嚴密性提出了更高的要求,這就使得經濟學與數學的結合成為必然。首先,嚴密的數學方法可以保證經濟學中推理的可靠性,提高討論問題的效率。其次,具有客觀性與嚴密性的數學方法可以抵制經濟學研究中先入為主的偏見。第三,經濟學中的數據分析需要數學工具,數學方法可以解決經濟生活中的定量分析。
在人口學、倫理學、哲學等其他社會科學中也滲透著數學思想……

2思想方法

概括數學本質的嘗試
數學認識的一般性表明,數學的感性認識表現為數學知識的經驗性質;數學認識的特殊性表明,數學的理性認識表現為數學知識的演繹性質。因此,認識論中關於感性認識與理性認識的關係在數學認識論中表現為數學的經驗性與演繹性的關係。所以,認識數學的本質在於認識數學的經驗性與演繹性的辯證關係。那麼數學哲學史上哲學家是如何論述數學的經驗性與演繹性的關係,從而得出他們對數學本質的看法的呢?
數學哲學史上最早探討數學本質的是古希臘哲學家柏拉圖。他在《理想國》中提出認識的四個階段,認為數學是處於從感性認識過渡到理性認識的一個階梯,是一種理智認識。這是柏拉圖對數學知識在認識論中的定位,第一次觸及數學的本質問題。
17世紀英國經驗論哲學家J.洛克在批判R.笛卡爾的天賦觀念中建立起他的唯物主義經驗論,表述了數學經驗論觀點。他強調數學知識來源於經驗,但又認為屬於論證知識的數學不如直覺知識清楚和可靠。
德國哲學家兼數學家萊布尼茨在建立他的唯理論哲學中,闡述了唯理論的數學哲學觀。他認為:「全部算術和全部幾何學都是天賦的」;數學只要依靠矛盾原則就可以證明全部算術和幾何學;數學是屬於推理真理。他否認了數學知識具有經驗性。
德國哲學家康德為了克服唯理論與經驗論的片面性,運用他的先驗論哲學,從判斷的分類入手,論述了數學是「先天綜合判斷」。由於這一觀點帶有先驗性和調和性,所以它並沒有解決數學知識的經驗性與演繹性的辯證關係。
康德以後,數學發展進入一個新時期,它的一個重要特點是公理化傾向。這一趨勢使大多數數學家形成一種認識:數學是一門演繹的科學。這種觀點的典型代表是數學基礎學派中的邏輯主義和形式主義。前者把數學歸結為邏輯,後者把數學看作是符號遊戲。1931年哥德爾不完全性定理表明了公理系統的局限性和數學演繹論的片面性。這就使得一些數學家開始懷疑「數學是一門演繹科學」的觀點,提出,數學是一門有經驗根據的科學,但它並不排斥演繹法。這引起一場來自數學家的有關數學本質的討論。
拉卡托斯為了避免數學演繹論與經驗論的片面性,從分析數學理論的結構入手,提出數學是一門擬經驗科學。他說:「作為總體上看,按歐幾里得方式重組數學也許是不可能的,至少最有意義的數學理論像自然科學理論一樣,是擬經驗的。」儘管拉卡托斯給封閉的歐幾里得系統打開了第一個缺口,但是,擬經驗論實際上是半經驗論,並沒有真正解決數學性質問題,因而數學家對它以及數學哲學史上有關數學本質的概括並不滿意。1973年,數理邏輯學家A.羅賓遜說:「就應用辯證法來仔細分析數學或某一種數學理論(如微積分)而言,在我所讀的從黑格爾開始的這方面的著作中,還沒有發現經得起認真批判的東西。」因此,當計算機在數學中的應用引起數學研究方式的變革時,特別是當計算機證明了四色定理和藉助計算機進行大量試驗而創立分形幾何時,再次引起了數學家們對「什麼是證明?」「什麼是數學?」這類有關數學本質的爭論。
演算的方法
既然數學的本質是經驗性與演繹性在實踐基礎上的辯證統一,那麼能否對數學的本質進一步作出哲學概括呢?即用簡潔的語言表達數學的本質,就像拉卡托斯說的「數學是擬經驗的科學」那樣。為此,本文提出,數學是一門演算的科學(其中「演」表示演繹,「算」表示計算或演算法,「演算」表示演與算這對矛盾的對立統一)。在此,必須說明三點:何以如此概括?「演算」能否反映數學研究的特點以及能否反映數學本質的辯證性?
1.何以如此概括?
首先,從理論上講,數學本質是數學觀的一個重要問題,而數學觀與數學方法論是統一的,所以可以通過方法論來分析數學觀。數學認識對象的特殊性決定了數學認識方法的特殊性。這種特殊性表現在,數學研究除了像自然科學那樣僅僅採用觀察、實驗、歸納的方法外,還必須採用演繹法。因此,可以通過研究數學認識方法來反映數學認識的本質。
其次,從事實上看,數學知識的經驗性表明數學是適應社會實踐需要而產生的,是解決實際問題的經驗積累。社會實踐提出的數學問題都要求給出定量的回答,而要作出定量的回答就必須進行具體的計算,所以計算表徵了數學經驗知識的特點。而對於各種具體的計算方法及其一般概括的「演算法」(包括公式、原理、法則),也都可以用「算」來概括、反映數學知識的經驗性在方法論上的計算或演算法特點。同時,數學知識的演繹性反映數學認識在方法論上的演繹特點,所以,可以用「演」來反映數學知識的演繹性。因此,我們可以用「演算」來反映數學本質的經驗性與演繹性。
第三,為避免概括數學本質的片面性。自從數學分為應用數學與純粹數學以後,許多數學家認為,數學來源於經驗是很早以前的事,現在已經不是了,而是變成一門演繹科學了。而一般人也接受這種觀點。但這樣強調數學的演繹性特點,卻忽視了數學具有經驗性質的一面。為了避免這種片面性,這裡特別通過數學方法論來概括和反映數學的本質。
2.「演算」反映了數學研究的特點
數學研究對象的特殊性產生了數學研究特有的問題:計算與證明。它們成為數學研究的兩項主要工作。關於「證明」。數學對象的特殊性使得數學成果不能像自然科學成果那樣通過實驗來證實,而必須通過邏輯演繹來證明,否則數學家是不予承認的。所以,數學家如何把自己的成果表達成一系列的演繹推理(即證明)就成為重要工作。證明成為數學研究工作的重要特點。關於「計算」。數學本身就是起源於計算,即使數學發展到高度抽象理論的今天,也不能沒有計算。數學家在證明一個定理之前,必須經過大量的具體計算,進行各種試驗或實驗,並加以分析、歸納,才能形成證明的思路和方法。只有在這時候,才能從邏輯上進行綜合論證,表達為一系列的演繹推理過程,即證明。從應用數學來看,更是需要大量的計算,所以人們才發明各種計算機。在電子計算機廣泛應用的今天,計算的規模更大了,以致在數學中出現數值實驗。因此,計算成為數學研究的另一項重要工作。
既然「計算與證明」是數學研究的兩項主要工作和特點,那麼「數學是演算的科學」這一概括是否反映出這一特點?「證明」是從一定的前提(基本概念和公理)出發,按照邏輯規則所進行的一種演繹推理。而「演(繹)」正可以反映「證明」這一特點。而「算」顯然更可以直接反映「計算」或「演算法」及其特點。由此可見,「演算」反映了數學研究的計算和證明這兩項基本工作及其特點。
3.「演」與「算」的對立統一反映數學性質的辯證性
首先,從數學發展的宏觀來看。數學史告訴我們,數學起源於「算」,即起源於物體個數、田畝面積、物體長度等的計算。要計算就要有計算方法,當各種計算方法積累到一定數量的時候,數學家就進行分類,概括出適用於某類問題的計算公式、法則、原理,統稱為演算法。所以數學的童年時期叫做算術,它表現為一種經驗知識。當歐幾里得建立數學史上第一個公理系統時,才出現「演繹法」。此後,「演」與「算」便構成了數學發展中的一對基本矛盾,推動著數學的發展。這在西方數學思想史中表現最為突出。大致說來,在歐幾里得以前,數學思想主要是演算法;歐幾里得所處的亞歷山大里亞前期,數學主要思想已由演算法轉向演繹法;從亞歷山大里亞後期到18世紀,數學主要思想再次由演繹法轉向演算法;19世紀到20世紀上半葉,數學主要思想又由演算法轉向演繹法;電子計算機的應用促進了計算數學的發展及其與之交叉的諸如計算流體力學、計算幾何等邊緣學科的產生以及數學實驗的出現。這一切又使演算法思想重新得到發展,成為與演繹法並駕齊驅的思想。可以預言,隨著計算機作為數學研究工具地位的確立,演算法思想將成為今後相當長一個時期數學的主要思想。演算法思想與演繹思想在數學發展過程中的這種更迭替代,從一個側面體現了「演」與「算」這對矛盾在一定條件下的相互轉化。所以,有的數學史工作者從方法論的角度把數學的發展概括為演算法傾向與演繹傾向螺旋式交替上升的過程。
其次,從數學研究的微觀來看。「演」中有「算」,這充分表明了我們上面所分析的「證明」中包含著「計算」,包含著「算」向「演」轉化。「算」中有「演」,這充分表現在算術和代數中。算術和代數表現為「算」,但是,算術和代數的「算」,並不是自由地計算,而是要遵循基本的四則運算及其規律,即計算要按照一定的計算規則,就像證明要遵守推理規則一樣。所以「算」中包含著「演」,包含著「演」向「算」的轉化。「演」與「算」的這種對立統一更充分地體現在計算機的數值計算和定理證明中。這種「算」與「演」的對立統一關係,從一個側面反映了數學的經驗性與演繹性的辯證關係,反映了數學性質的辯證性。
綜上所述,既然「演算」概括了數學研究的特點,反映了數學的經驗性與演繹性及其辯證關係,我們就有理由把它作為對數學本質的概括,說「數學是一門演算的科學」。
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