標籤: 暫無標籤

早在17世紀,有一個賭徒向法國著名數學家帕斯卡挑戰,給他出了一道題目:甲乙兩個人賭博,他們兩人獲勝的機率相等,比賽規則是先勝三局者為贏家,贏家可以獲得100法郎的獎勵。當比賽進行到第三局的時候,甲勝了兩局,乙勝了一局,這時由於某些原因中止了比賽,那麼如何分配這100法郎才比較公平?用概率論的知識,不難得知,甲獲勝的概率為1/2+(1/2)*(1/2)=3/4,或者分析乙獲勝的概率為(1/2)*(1/2)=1/4。因此由此引出了甲的期望所得值為100*3/4=75法郎,乙的期望所得值為25法郎。這個故事裡出現了「期望」這個詞,數學期望由此而來。

1 數學期望 -數學期望

 

2 數學期望 -正文

  又稱期望或均值,是隨機變數按概率的加權平均,表徵其概率分佈的中心位置。數學期望是概率論早期發展中就已產生的一個概念。當時研究的概率問題大多與賭博有關。假如某人在一局賭博中面臨如下的情況:在總共mn種等可能出現的結果中,有m種結果可贏得α,其餘n種結果可贏得b), 則數學期望就是他在該局賭博中所能期望的收入。數學期望的這種初始形式早在1657年即由荷蘭數學家C.惠更斯明確提出。它是簡單算術平均的一種推廣。
  設x為離散型隨機變數,它取值x0x1,…的概率分別為p1,p2,…,則當級數數學期望時,定義它的期望為數學期望。這裡之所以要求級數絕對收斂,是因為作為期望的這種平均,不應當依賴於求和的次序。若x為連續型隨機變數,其密度函數為px),則當積分數學期望時,定義它的期望為數學期望。在一般場合,設x是概率空間(Ω,F,p)上的隨機變數,其分佈函數為F(x),則當數學期望時,定義x的期望為

數學期望

式中數學期望是斯蒂爾傑斯積分;數學期望數學期望是隨機變數xΩ上對概率測度p的積分。然而,並非所有的隨機變數都具有期望。
  隨機變數的期望,有下列性質:E(xY)=Ex+EY;若把常數α看作隨機變數,則Eα=α;若x≥0,則Ex≥0;若xY獨立,則E(XY)=Ex·EY;若隨機變數x1,x2,…,xn有聯合分佈函數F(x1,x2,…,xn),則對一類n元函數ƒ(x1,x2,…,xn)(稱為可積的n元波萊爾可測函數,它包括所有可積的初等函數和連續函數),有

數學期望

  若Z=x+iY為復隨機變數,則定義其數學期望為EZ=Ex+iEY
  上述數學期望的概念也可推廣至隨機向量的情形。一個隨機向量數學期望的數學期望(EX定義為以其各分量xj的數學期望為分量的向量,即數學期望數學期望,也稱為X的均值向量。它也具有一般期望所具有的類似性質。

 

3 數學期望 -配圖

 

4 數學期望 -相關連接

相關評論

同義詞:暫無同義詞