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數學模型的歷史可以追溯到人類開始使用數字的時代。隨著人類使用數字,就不斷地建立各種數學模型,以解決各種各樣的實際問題。對於廣大的科學技術工作者對大學生的綜合素質測評,對教師的工作業績的評定以及諸如訪友,採購等日常活動,都可以建立一個數學模型,確立一個最佳方案。建立數學模型是溝通擺在面前的實際問題與數學工具之間聯繫的一座必不可少的橋樑。

1定義

現在數學模型還沒有一個統一的準確的定義,因為站在不同的角度可以有不同的定義。不過我們可以給出如下定義。"數學模型是關於部分現實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的、簡化的結構。"具體來說,數學模型就是為了某種目的,用字母、數字及其它數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特徵及其內在聯繫的數學結構表達式。
數學模型(Mathematical Model)是近些年發展起來的新學科,是數學理論與實際問題相結合的一門科學。它將現實問題歸結為相應的數學問題,並在此基礎上利用數學的概念、方法和理論進行深入的分析和研究,從而從定性或定量的角度來刻畫實際問題,並為解決現實問題提供精確的數據或可靠的指導。

2建模要求

簡明實用
在建模過程中,要把本質的東西及其關係反映進去,把非本質的、對反映客觀真實程度影響不大的東西去掉,使模型在保證一定精確度的條件下,儘可能的簡單和可操作,數據易於採集。
模型準備
首先要了解問題的實際背景,明確建模目的,搜集必需的各種信息
建模步驟示意圖

  建模步驟示意圖

,盡量弄清對象的特徵。
模型構成
根據所作的假設分析對象的因果關係,利用對象的內在規律和適當的數學工具,構造各個量間的等式關係或其它數學結構。這時,我們便會進入一個廣闊的應用數學天地,這裡在高數、概率老人的膝下,有許多可愛的孩子們,他們是圖論、排隊論、線性規劃、對策論等許多許多,真是泱泱大國,別有洞天。不過我們應當牢記,建立數學模型是為了讓更多的人明了並能加以應用,因此工具愈簡單愈有價值。
模型分析
對模型解答進行數學上的分析。」橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同"。能否對模型結果作出細緻精當的分析,決定了你的模型能否達到更高的檔次。還要記住,不論那種情況都需進行誤差分析,數據穩定性分析。
模型應用
取決於問題的性質和建模的目的。

3模型分類

按應用領域分類:
生物學數學模型
醫學數學模型
地質學數學模型
氣象學數學模型
經濟學數學模型
社會學數學模型
物理學數學模型
化學數學模型
天文學數學模型
工程學數學模型
管理學數學模型
按是否考慮隨機因素分類:
確定性模型
隨機性模型
按是否考慮模型的變化分類:
靜態模型
動態模型
按應用離散方法或連續方法分類:
離散模型
連續模型
按建立模型的數學方法分類:
幾何模型
微分方程模型
圖論模型
規劃論模型
馬氏鏈模型
按人們對事物發展過程的了解程度分類:
白箱模型:
指那些內部規律比較清楚的模型。如力學、熱學、電學以及相關的工程技術問題。
灰箱模型:
指那些內部規律尚不十分清楚,在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問題。如氣象學、生態學經濟學等領域的模型。
黑箱模型:
指一些其內部規律還很少為人們所知的現象。如生命科學、社會科學等方面的問題。但由於因素眾多、關係複雜,也可簡化為灰箱模型來研究。

4教學大綱

一、總學時:32學時
二、適用專業:本科理工類、經濟類各專業
三、選用教材:姜啟源 編《數學模型》(第二版)高教出版社出版
四、基本內容和要求
(一) 數學建模的步驟、原理和方法:
1、 了解數學建模的意義;
2、 了解建立數學模型的基本知識、相關的基本概念;
3、 掌握數學建模過程的幾個明顯的處理階段和流程;
4、 通過實例了解數學模型的特點和學習方法;
5、 了解全國大學生數學建模競賽。
(二) 掌握數學建模思想方法:
1、數學建模概述
2、對現實問題的分析、提練、描述
3、幾種創造性思維方法
4、合理假設與信息處理
5、建立數學模型
6、數學軟體與模型求解
7、結果分析與靈敏度分析
8、模型的評價與推廣
9、論文摘要
(三) 數學方法分類建模
1、 初等數學方法建模;
2、 線性規劃法建模;
3、 非線性規劃法建模
4、 微分方程建模;
5、 層次分析法適用的建模問題和處理方法;
6、 圖論方法建模;
7、 概率分佈方法建模。
(四) 掌握一些特殊模型:
1、 運輸問題模型;
2、 經濟決策模型;
3、 綜合評判模型;
4、 捕魚業的持續收入;
5、 幾種圖論模型;
6、 效益的合理分配;
(五) 數學建模論文的寫作:
1、 知道數學建模競賽的規則及論文的評閱辦法;
2、 掌握數學建模論文的幾個基本模塊的數學方法。
五、學時分配建議表
序號
內 容
學時數
(一)
(二)
(三)
(四)
(五)
(六)
(七)
(八)
(九)
(十)
(十一)
(十二)
(十三)
(十四)
(十五)
(十六)
建立數學模型的基本知識
數學建模思想方法(一)
數學建模思想方法(二)
合理假設與數據處理
線性規劃方法建模
線性規劃求解方法
非線性規劃建模
非線性規劃求解方法
微分方程建模
差分方法建模
層次分析法建模
圖論方法建模
概率分佈方法建模
數學建模論文的寫作
專題建模剖析(二)
數學軟體應用
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
總計

32
六、說明
(一) 本大綱根據我校的實際情況制定。
(二) 課程類型:全校選修課。
(三) 總則:本課程系統地介紹數學模型、數學建模和建模過程中的一些常用方法及數學建模實例,通過課堂教學和討論,使學生了解數學建模的特性及建模的基本方法,並初步具備對實際問題如何建模的能力以及培養良好的思考習慣和歸納分析能力,使學生在應用數學知識解決實際問題的能力有所提高。學習本課程的大部分內容只需要大學的微積分、線性代數、概率論等基本數學知識。
(四) 教學目的及要求:逐步培養學生利用數學工具解決實際問題的能力。能夠將實際問題「翻譯」為數學語言,並予以求解,然後再解釋實際現象,甚至應用於實際。最終提高學生的數學素質和應用數學知識解決實際問題的能力。
(五) 教學重點:對實際問題的分析;模型的合理假設;數學工具的恰當應用;模型的建立;模型的求解;模型結果的合理解釋;模型的應用;
(六) 教學難點:對實際問題的分析;模型的合理假設;數學工具的恰當應用;模型結果的合理解釋與模型的應用;
(七) 主要教學環節的組織:循序漸進的介入數學建模的思想,由簡入難的介紹各類數學模型;強化數學與計算機等其他工具的結合;對於一些重點教學環節,在突出對數學方法的同時,要重點講述數學方法與實際問題的一些必然的關聯性,使學生更具體的認識數學。對某些章節用到的不常用數學方法,予以簡單而有目的的介紹。
(八) 大綱中教學基本要求從高到底分為理論部分:深入理解、一般理解、了解;運算部分:熟練掌握、一般掌握、知道。

5圖書信息

數學模型
書 名: 數學模型
版次: 2011年1月第四版
出版社: 高等教育出版社
出版時間: 2011-7-28
ISBN: 9787040311501
開本: 16開
定價: 44.00 元
目錄
第1章 建立數學模型
第2章 初等模型
第3章 簡單的優化模型
第4章 數學規劃模型
第5章 微分方程模型
第6章 代數方程與差分方程模型
第7章 穩定性模型
第8章 離散模型
第9章 概率模型
第10章 統計回歸模型
第11章 博弈模型
第12章 馬氏鏈模型
第13章 動態優化模型
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