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數學物理中的反問題

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1 數學物理中的反問題 -數學物理中的反問題

 

2 數學物理中的反問題 -正文

  在數學物理和工程技術中出現的偏微分方程問題,大體上可以分為兩類。一類問題是對給定的偏微分方程定解問題,要求出問題的解或揭示解的某些性質。這類問題稱為正問題,起著由因推果的作用,對它們的研究在理論和應用上都是比較成熟的,至今仍占著主導的地位。另一類問題是在所考察的偏微分方程定解問題中有不確定的因素,還須利用對解所獲得的某些信息來推出方程中的未知係數或源項,決定一部分定解條件或刻畫求解區域的形狀等等。這類問題稱為反問題,起著由果尋因的作用,對它們的研究目前雖然還很不成熟,但由於應用上的迫切需要,已愈來愈為人們所重視,成為當前相當活躍的研究課題。
  在遙測和勘探技術中提出了大量的反問題。例如,在地球物理勘探中,通過地震波的測量來判斷地球內部的結構或地下礦藏的位置;在無損探傷中,用紅外線掃描來探測固體材料中的缺陷;通過測量地面上的牛頓引力勢來推斷地下金屬礦藏的位置、形狀和密度;利用X光分層掃描構像來作醫學診斷等等,都是在研究對象不能達到或直接接觸的情況下,利用特定的物理手段來取得有關解的某些信息,而化為數學上的反問題來處理的。工程技術中的定向設計及系統識別等方面的問題,都屬於反問題的範疇。在量子物理中,利用散射資料來反推位勢的反散射問題,也是一類有重要意義的反問題。
  反問題的提法多種多樣,且往往在經典的意義下是不適定的。為了求解各種不同形式的反問題,人們已經提出了一些有效的方法,如拉東變換、反散射方法、最優設計方法以及各種正則化方法等,但是還有很多問題有待進一步的研究。

 

3 數學物理中的反問題 -配圖

 

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