標籤:思想方法

數與形是數學中的兩個最古老,也是最基本的研究對象,它們在一定條件下可以相互轉化。中學數學研究的對象可分為數和形兩大部分,數與形是有聯繫的,這個聯繫稱之為數形結合,或形數結合。作為一種數學思想方法,數形結合的應用大致又可分為兩種情形:或者藉助於數的精確性來闡明形的某些屬性,或者藉助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關係,即數形結合包括兩個方面:第一種情形是「以數解形」,而第二種情形是「以形助數」。「以數解形」就是有些圖形太過於簡單,直接觀察卻看不出什麼規律來,這時就需要給圖形賦值,如邊長、角度等。

1基本資料

中國著名數學家華羅庚曾說過:「數形結合百般好,隔裂分家萬事非。」「數」與「形」反映了事物兩個方面的屬性。我們認為,數形結合,主要指的是數與形之間的一一對應關係。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關係與直觀的幾何圖形、位置關係結合起來,通過「以形助數」或「以數解形」即通過抽象思維與形象思維的結合,可以使複雜問題簡單化,抽象問題具體化,從而起到優化解題途徑的目的。

2評價

數形結合的思想方法是數學教學內容的主線之一,應用數形結合的思想,可以解決以下問題:
一、解決集合問題:在集合運算中常常藉助於數軸、Venn圖來處理集合的交、並、補等運算,從而使問題得以簡化,使運算快捷明了。
二、解決函數問題:藉助於圖象研究函數的性質是一種常用的方法。函數圖象的幾何特徵與數量特徵緊密結合,體現了數形結合的特徵與方法。
三、解決方程與不等式的問題:處理方程問題時,把方程的根的問題看作兩個函數圖象的交點問題;處理不等式時,從題目的條件與結論出發,聯繫相關函數,著重分析其幾何意義,從圖形上找出解題的思路。
四、解決三角函數問題:有關三角函數單調區間的確定或比較三角函數值的大小等問題,一般藉助於單位圓或三角函數圖象來處理,數形結合思想是處理三角函數問題的重要方法。
五、解決線性規劃問題:線性規劃問題是在約束條件下求目標函數的最值的問題。從圖形上找思路恰好就體現了數形結合思想的應用。
六、解決數列問題:數列是一種特殊的函數,數列的通項公式以及前n項和公式可以看作關於正整數n的函數。用數形結合的思想研究數列問題是藉助函數的圖象進行直觀分析,從而把數列的有關問題轉化為函數的有關問題來解決。
七、解決解析幾何問題:解析幾何的基本思想就是數形結合,在解題中善於將數形結合的數學思想運用於對點、線、曲線的性質及其相互關係的研究中。
八、解決立體幾何問題:立體幾何中用坐標的方法將幾何中的點、線、面的性質及其相互關係進行研究,可將抽象的幾何問題轉化純粹的代數運算。

3數形結合思想在解題中的應用

1. 數形結合是數學解題中常用的思想方法,數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化,能夠變抽象思維為形象思維,有助於把握數學問題的本質;另外,由於使用了數形結合的方法,很多問題便迎刃而解,且解法簡捷。
2. 所謂數形結合,就是根據數與形之間的對應關係,通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想,實現數形結合,常與以下內容有關:(1)實數與數軸上的點的對應關係;(2)函數與圖象的對應關係;(3)曲線與方程的對應關係;(4)以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念,如複數、三角函數等;(5)所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義。如等式 。
3. 縱觀多年來的高考試題,巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題,可起到事半功倍的效果,數形結合的重點是研究「以形助數」。
4. 數形結合的思想方法應用廣泛,常見的如在解方程和解不等式問題中,在求函數的值域、最值問題中,在求複數和三角函數解題中,運用數形結思想,不僅直觀易發現解題途徑,而且能避免複雜的計算與推理,大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優越,要注意培養這種思想意識,要爭取胸中有圖見數想圖,以開拓自己的思維視野。
5、數形結合思想的論文
數形結合思想簡而言之就是把數學中「數」和數學中「形」結合起來解決數學問題的一種數學思想。數形結合具體地說就是將抽象數學語言與直觀圖形結合起來,使抽象思維與形象思維結合起來,通過「數」與「形」之間的對應和轉換來解決數學問題。在中學數學的解題中,主要有三種類型:以「數」化「形」、以「形」變「數」和「數」「形」結合。
(1)以「數」化「形」
由於「數」和「形」是一種對應,有些數量比較抽象,我們難以把握,而「形」具有形象,直觀的優點,能表達較多具體的思維,起著解決問題的定性作用,因此我們可以把「數」的對應——「形」找出來,利用圖形來解決問題。我們能夠從所給問題的情境中辨認出符合問題目標的某個熟悉的「模式」,這種模式是指數與形的一種特定關係或結構。這種把數量問題轉化為圖形問題,並通過對圖形的分析、推理最終解決數量問題的方法,就是圖形分析法。數量問題圖形化是數量問題轉化為圖形問題的條件,將數量問題轉化為圖形問題一般有三種途徑:應用平面幾何知識,應用立體幾何知識,應用解析幾何知識將數量問題轉化為圖形問題。解一個數學問題,一般來講都是首先對問題的結構進行分析,分解成已知是什麼(條件),要求得到的是什麼(目標),然後再把條件與目標相互比較,找出它們之間的內在聯繫。因此,對於「數」轉化為「形」這類問題,解決問題的基本思路: 明確題中所給的條件和所求的目標,從題中已知條件或結論出發,先觀察分析其是否相似(相同)於已學過的基本公式(定理)或圖形的表達式,再作出或構造出與之相適合的圖形,最後利用已經作出或構造出的圖形的性質、幾何意義等,聯繫所要求解(求證)的目標去解決問題。
(2)以「形」變「數」
雖然形有形象、直觀的優點,但在定量方面還必須藉助代數的計算,特別是對於較複雜 的「形」,不但要正確的把圖形數字化,而且還要留心觀察圖形的特點,發掘題目中的隱含條件,充分利用圖形的性質或幾何意義,把「形」正確表示成「數」的形式,進行分析計算。
解題的基本思路:  明確題中所給條件和所求的目標,分析已給出的條件和所求目標的特點和性質,理解條件或目標在圖形中的重要幾何意義,用已學過的知識正確的將題中用到的圖形的用代數式表達出來,再根據條件和結論的聯繫,利用相應的公式或定理等。
(3)「形」「數」互變
「形」「數」互變是指在有些數學問題中不僅僅是簡單的以「數」變「形」或以「形」變「數」而是需要「形」「數」互相變換,不但要想到由「形」的直觀變為「數」的嚴密還要由「數」的嚴密聯繫到「形」的直觀。解決這類問題往往需要從已知和結論同時出發,認真分析找出內在的「形」「數」互變。一般方法是看「形」思「數」、見「數」想「形」。實質就是以「數」化「形」、以「形」變「數」的結合。
數形結合思想是一種可使複雜問題簡單化、抽象問題具體化的常用的數學思想方法。要想提高學生運用數形結合思想的能力,需要教師耐心細緻的引導學生學會聯繫數形結合思想、理解數形結合思想、運用數形結合思想、掌握數形結合思想。
中學數學的基本知識分三類:一類是純粹數的知識,如實數、代數式、方程(組)、不等式(組)、函數等;一類是關於純粹形的知識,如平面幾何、立體幾何等;一類是關於數形結合的知識,主要體現是解析幾何。
數形結合是一個數學思想方法,包含「以形助數」和「以數輔形」兩個方面,其應用大致可以分為兩種情形:或者是藉助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯繫,即以形作為手段,數為目的,比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質;或者是藉助於數的精確性和規範嚴密性來闡明形的某些屬性,即以數作為手段,形作為目的,如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。
數形結合的思想,其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來,關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化,它可以使代數問題幾何化,幾何問題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問題時,要注意三點:第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特徵,對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義;第二是恰當設參、合理用參,建立關係,由數思形,以形想數,做好數形轉化;第三是正確確定參數的取值範圍。
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