標籤:函數交集

方程(英文:equation)是表示兩個數學式(如兩個數、函數、量、運算)之間相等關係的一種等式,是含有未知數的等式,通常在兩者之間有一等號「=」。方程不用按逆向思維思考,可直接列出等式並含有未知數。它具有多種形式,如一元一次方程、二元一次方程等。廣泛應用於數學、物理等理科應用題的運算。

性質1
等式兩邊同時加(或減)同一個數或同一個代數式,所得的結果仍是等式。用字母表示為:若a=b,c為一個數或一個代數式。則:(1) a+c=b+c (2) a-c=b-c
定義
只含有一個未知數,且未知數次數是一的整式方程叫一元一次方程(linear equation with one unknown)。通常形式是ax+b=0(a,b為常數,且a≠0)
同解方程
如果兩個方程的解相同,那麼這兩個方程叫做同解方程。
方程的同解原理:
⒈方程的兩邊都加或減同一個數或同一個等式所得的方程與原方程是同解方程。
⒉方程的兩邊同乘或同除同一個不為0的數所得的方程與原方程是同解方程。
做一元一次方程應用題的重要方法:
⒈認真審題
⒉分析已知和未知的量
⒊找一個等量關係
⒋設未知數
⒌列方程
⒍解方程
⒎檢驗
⒏寫出答

1教學設計

重點難點
一元一次方程解簡單的應用題的方法和步驟.
定義
二元一次方程定義:一個含有兩個未知數,並且未知數的指數都是1的整式方程,叫二元一次方程(linear equation of two unknowns)。
二元一次方程組定義:由兩個二元一次方程組成的方程組,叫二元一次方程組(system of linear equation of two unknowns)。
二元一次方程的解:使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值,叫做二元一次方程的解。
二元一次方程組的解:二元一次方程組的兩個公共解,叫做二元一次方程組的解。
一般解法,消元:將方程組中的未知數個數由多化少,逐一解決。
消元的方法有兩種:
加減消元
例:解方程組x+y=9① x-y=5②
解:①+②,得2x=14,即x=7
把x=7帶入①,得7+y=9,解得y=2
x=7,y=2
這種解法就是加減消元法。
二元一次方程組的解有三種情況
1.有一組解
如方程組x+y=5① 6x+13y=89②的解為x=-24/7,y=59/7。
2.有無數組解
如方程組x+y=6① 2x+2y=12②,因為這兩個方程實際上是一個方程(亦稱作「方程有兩個相等的實數根」),所以此類方程組有無數組解。
3.無解
如方程組x+y=4① 2x+2y=10②,因為方程②化簡後為x+y=5,這與方程①相矛盾,所以此類方程組無解。

2三元一次

解法
與二元一次方程類似,利用消元法逐步消元。
消元法
設方程組①:
a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+...+a_{1n}x_n=b_1\left(1\right)
a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+...+a_{2n}x_n=b_2\left(2\right)
……………………
a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+a_{i3}x_3+...+a_{in}x_n=b_i\left(i\right)
……………………
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+...+a_{mn}x_n=b_m\left(m\right)
把方程(1)×(-i1/a1)加到(i)上,再把方程(2)×(-i2/a2)加到(i)上,以此類推。(i∈N且i∈[1,m])最後,方程組變為:②
b11 x1+b12 x2+b13 x3+…+b1n xn=c1
b22 x2+b13 x3+…+b2n xn=c2
………………
brn xn=cr
0=c r+1
0=0
0=0
………… (bii≠0,i=1,2,…r)
最後的許多0=0可以捨去,不影響方程的解。可以分三種情況:
(1)c r+1 ≠0
此時,滿足前r各方程的任意一個解,都不能滿足0=c r+1這個方程,所以②無解,所以①也無解
當c r+1=0時,又分兩種情況:
(2)r=n
因為bii≠0,所以從最後一個方程可解出xn。然後代入第r-1個方程,解出x n-1。如此類推,可得出方程組②的唯一解,就是方程組①的唯一解。
(3)r<n
可把方程組該成他的同解方程組③:
b11 x1+b12 x2+b13 x3+…+b1r xr=c1-b1,r+1 x r+1-…-b1n xn
b22 x2+b13 x3+…+b2n xr=c2-b2,r+1 x r+1-…-b2n xn
………………
brr xr=cr-br,r+1 x r+1-…-brn xn
設等號後面的數是已知數,按照(2)的方法來解,可解得:
x1=d11 x r+1+d12 x r+2+…+d1,n-r xn
x2=d21 x r+1+d22 x r+2+…+d1,n-r xn
………………
xr=dr1 x r+1+dr2 xr+2+…+dr,n-r xn
令自由未知量xr+i=ki(i∈N且i∈[1,n-r])可得方程組的全部解:
x1=d11 k1+d12 k2+…+ d1,n-r kn-r
x2=d21 k1+d22 k2+…+d1,n-r kn-r
………………
xr=dr1 k1+dr2 k2+…+dr,n-r kn-r
x r+1=k1
x r+2=k2
…………
xn=kn-r
定義
含有一個未知數,並且未知數的最高次數是2的整式方程,這樣的方程叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown)。
由一次方程到二次方程是個質的轉變,通常情況下,二次方程無論是在概念上還是解法上都比一次方程要複雜得多。
一般形式:
ax^2+bx+c=0
(a≠0)
一般解法有四種:
⒈公式法(直接開平方法)
⒉配方法
3.因式分解法
4.十字相乘法
十字相乘法能把某些二次三項式分解因式。這種方法的關鍵是把二次項係數a分解成兩個因數a1,a2的積a1?a2,把常數項c分解成兩個因數c1,c2的積c1?c2,並使a1c2+a2c1正好是一次項b,那麼可以直接寫成結果:在運用這種方法分解因式時,要注意觀察,嘗試,並體會它實質是二項式乘法的逆過程。當首項係數不是1時,往往需要多次試驗,務必注意各項係數的符號。
一般情況
一般地,n元一次方程就是含有n個未知數,且含未知數項次數是1的方程,一次項係數規定不等於0
n元一次方程組就是幾個n元一次方程組成的方程組(一元一次方程除外)
一元a次方程就是含有一個未知數,且含未知數項最高次數是a的方程(一元一次方程除外)
一元a次方程組就是幾個一元a次方程組成的方程組(一元一次方程除外)
n元a次方程就是含有n個未知數,且含未知數項最高次數是a的方程(一元一次方程除外)
n元a次方程組就是幾個n元a次方程組成的方程組(一元一次方程除外)
方程(組)中,未知數個數大於方程個數的方程(組)叫做不定方程(組),此類方程(組)一般有無數個解。
雞為x
例籠中共有30隻雞和兔,數一數足數正好是100隻。問雞和兔各有多少只?
解:設雞為x只,則兔為(30-x)只。
2x+(30-x)×4=100
2x+120-4x=100
120-2x=100
2x=20
x=10
30-10=20(只)
答:雞和兔各有10隻,20隻。

兔為x

例籠中共有雞兔100隻,雞兔足數共248隻。問雞兔各有多少只?
解:設兔為x只,則雞為(100-x)只。
4x+(100-x)×2=248
4x+200-2x=248
2x+200=248
2x=48
x=24
100-24=76(只)
答:雞兔各有76隻,24隻。

3方程連接

方程分類形如…未知數個數未知數最高指數羃未知數係數解/根
實數方程
整式方程
(有理式)
一元一元一次方程ax+b=0(a≠o)112x
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o)123x1,x2
一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠o)134x1,x2,x3
一元四次方程ax^4+bx3+cx2+dx+e=0(a≠o)145x1,x2,x3,x4
二元二元一次方程(*組)ax+by+c=0(a、b≠o)2131組
二元二次方程(*組)ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0。(a、b、c、d、e、f都是常數,且a、b、c中至少有一個不是零;當b為零時,a與d以及c與e分別不全為零2262組
分式方程特殊分母中有未知數(非常數)1個以上-12個以上
2個以上(偶數個)
有可能有增出現
虛數/無理方程
無解方程
*特殊類別1不定不定不存在
矛盾方程組*特殊類別不定不定不定增根
概念不定方程-定方程*特殊類別2或其他不定2或其他多組
高次方程、三元一次方程、多元一次方程
[3-4]

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