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映射,或者射影,在數學及相關的領域經常等同於函數。基於此,部分映射就相當於部分函數,而完全映射相當於完全函數。

1 映射 -簡介

通常情況下,映射一詞有照射的含義,是一個動詞。在數學上,映射則是個術語,指兩個元素集之間元素相互「對應」的關係,名詞;也指「形成對應關係」這一個動作,動詞。數學基本概念之一,通常函數概念的推廣。又稱映照。

2 映射 -內容分析

 l.映射是近、現代數學中的一個非常重要的概念,其思想也滲透於整個中學數學教材之中。實際上,在高中提出映射的概念,並不只是為了加深對函數概念的理解,而更重要的是要揭示一些不同概念之間的內在聯繫,以加深對它們的認識,例如,數軸上的點與其坐標,平面內的封閉圖形與其面積,某種排列問題中的排列的集合與其排列數,某種隨機事件的集合與其發生的概率等,在它們之間實際上是一種映射關係。於是在映射的觀點之下,一些看上去很不相同的研究對象之間的聯繫被揭示了出來。

2.映射與前面學習的集合有著密切的關係,事實上,映射是兩個集合中的一種特殊的對應關係,即如果按照某種對應法則,對於集合A中的任何一個元素,在集合B中都有惟一的元素與它對應,那麼這樣的對應(包括對應法則)叫做集合A到集合B的映時。 
映射關係圖
 

3.本小節先講映射的概念,后講一一映射的概念,我們知道,對應包括「一對多」、「多對一」、「一對一」等情況,而映射是「象」惟一的這種特殊的對應,它包括「多對一」、「一對一」等情形,但應注意的是,映射不一定是「滿射」。至於一一映射,它則是一種特殊的映射,應該指出,—一映射在數學中有著特殊重要的意義,對很多問題的研究都是通過—一映射將問題轉化,並獲得解決的。例如平面解析幾何中通過點到數對的一一映射將幾何問題化成代數問題解決,通過「取對數」的—一映射將數的乘除運算轉化為加減運算等等。在本章中介紹反函數時,實際上也要用到一一映射的概念,可見,學習映射(特別是—一映射)的概念,對理解、掌握整個高中數學內容有著重要作用。

4.映射的概念是一個教學難點,教學時,建議:(l)把握教學要求,即讓學生了解映射概念的意義,以後會用它去理解函數的概念,而不要求背誦映射的定義。(2)由於映射的概念較為抽象,要多結合實例進行講解。(3)在後續學習中,結合相關內容不斷複習,深化映射的概念。

3 映射 -舉例說明

AB是兩個非空集合,f是一個法則,如果對A中任一元素x,依照法則f,B中有某一元素yx相對應,就稱f為一個從AB的映射。例如,A={1,2,3}B={2,4,6,8,10}如果f使1與2對應,2與4對應,3與6對應,那麼fAB的一個映射。又如,A表示平面上所有三角形的集合,B表示這個平面上所有圓的集合,f使任一個三角形與它的內切圓對應  ,那麼f也是AB的一個映射。常用記號f  :AB表示從AB的映射,A稱為映射的定義域。為了表示元素x的對應元素y  ,常記為yf(x),並稱yx在映射f之下的像。所有的像組成的集合是B的一個子集,稱為值域,或稱像域。

4 映射 -幾種特殊的映射

如果一個從AB的映射,使A中任意兩個不同元素在B中的像也不同,則這種映射稱為單射;如果一個從AB的映射 ,使B中每個元素都是A中元素的像,則這種映射稱為滿射;即是單射又是滿射的映射稱為雙射。雙射也稱為一一映射。如果AB都是數集,則fAB就是通常意義下的函數。在現代數學中,對映射與函數不加區分,它們是完全相同的概念。

5 映射 -公式

按照映射的定義,下面的對應都是映射。   
⑴設A={1,2,3,4},B={3,5,7,9},集合A中的元素x按照對應關係「乘2加1」和集合B中的元素2x+1對應,這個對應是集合A到集合B的映射。   
⑵設A=N*,B={0,1},集合A中的元素按照對應關係「x除以2得的餘數」和集合B中的元素對應,這個對應是集合A到集合B的映射。   
⑶設A={x|x是三角形},B={y|y>0},集合A中的元素x按照對應關係「計算面積」和集合B中的元素對應,這個對應是集合A到集合B的映射。   
⑷設A=R,B={直線上的點},按照建立數軸的方法,是A中的數x與B中的點P對應,這個對應是集合A到集合B的映射。   
⑸設A={P|P是直角坐標系中的點},B={(x,y)|x∈R,y∈R},按照建立平面直角坐標系的方法,是A中的點P與B中的有序實數對(x,y)對應,這個對應是集合A到集合B的映射。   

6 映射 -特徵

映射是數學中描述了兩個集合元素之間一種特殊的對應關係的。   
映射在不同的領域有很多的名稱,它們的本質是相同的。如函數,運算元等等。這裡要說明,函數是兩個數集之間的映射,其他的映射並非函數。   
一一映射(雙射)是映射中特殊的一種,即兩集合元素間的唯一對應,通俗來講就是一個對一個(多對一)。 
(由定義可知,圖1中所示對應關係不是映射,而其它三圖中所示對應關係就是映射。)   
或者說,設A B是兩個非空的集合,如果按,某一個確定的對應關係f.使對於集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應,那麼就稱對應f:A→B為從集合A到集合B的一個函數   
映射的成立條件簡單的表述就是下面的兩條:   
1、定義域的遍歷性:X中的每個元素x在映射的值域中都有對應對象;   
2、對應的唯一性:定義域中的一個元素只能與映射值域中的一個元素對應;   

7 映射 -映射的分類

映射的不同分類是根據映射的結果進行的,從下面的三個角度進行:   
1、根據結果的幾何性質分類:滿射(到上)與非滿射(內的);   
2、根據結果的分析性質分類:單射(一一的)與非單射;   
3、同時考慮幾何與分析性質:滿的單射(一一對應)。   
註:右圖中(1)不是A到B的映射,(2)(3)(4)都是A到B的映射。

8 映射 -元素之間的關係

集合AB的元素個數為m,n, 那麼,從集合A到集合B的映射的個數為n的m次 

函數和映射 
 
函數和映射,滿映射和單映射的區別,函數是數集到數集映射,並且這個映射是「滿」的。 即滿映射f: A -> B是一個函數,其中原像集A稱做函數的定義域,像集B稱做函數的值域。   「數集」就是數字的集合,可以是整數、有理數、實數、複數或是它們的一部分等等。   
「映射」是比函數更廣泛一些的數學概念,它就是一個集合到另一個集合的一種確定的對應關係。即,若f是集合A到集合B的一個映射,那麼對A中的任何一個元素a,集合B中都存在唯一的元素b與a對應。我們稱a是原像,b是像。寫作f: A -> B,元素關係就是b = f(a).   
一個映射f: A -> B稱作「滿」的,就是說對B中所有的元素,都存在A中的原像。   
在函數的定義中不要求是滿射,就是說值域應該是B的子集。(這個定義來源於一般中學中的講法,實際上許多數學書上並不一定定義函數是滿射。)   
象集中每個元素都有原象的映射稱為滿射 : 即B中的任意一元素y都是A中的原像,則稱f為A到B上的滿射,強調f(A)=B(B的原像可以多個);   
原象集中不同元素的象不同的映射稱為單射 :   
若A中任意兩個不同元素x1≠x2,它們的像f(x1)≠f(x2),則稱f為A到B的單射,強調f(A)是B的真子集   
單射和滿射可共同決定為一一雙射。

9 映射 -例題

這與數學一點也沒關係,它與程序進程有關。   
何為映射?   
假設有一個是以MFC類庫中的 CDialog類作為基類的類型。   
那麼必須通過GetThisMessageMap()const*這個類來實現UI   其他方法來實現映射必需通過switch(MSG msg){case:事件變數 Break;...}來實現   
映射簡單來說就是UI事件,廣義來說就是通過類型實現Ui。

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