標籤:高等數學

曲線是動點運動時,方向連續變化所成的線。也可以想象成彎曲的波狀線。同時,曲線一詞又可特指人體的線條。

1漢語詞語

詳細解釋
含義
(1)動點運動時,方向連續變化所成的曲線。(2)謂彎曲的波狀線。特指人體的線條。
出處
茅盾《鍛煉》十二:「如果不免也還有可供指摘之處,這便是她身上穿的也是絲質的晨衣,色彩姣艷,而且把渾身的曲線都顯露出來。」

2數學名詞

基本公式
設正則曲線C的參數方程為r=r(s),s是弧長參數,p(s)是曲線C上參數為s即向徑為r(s)的一個定點。Q(s+Δs)為C上鄰近p的點,Q沿曲線C趨近於p時,割線pQ的極限
曲線

  曲線

位置稱為曲線Cp點的切線。過p點與切線垂直的平面稱為曲線Cp點的法平面。曲線Cp點的切線及C上鄰近點R確定一個平面σ,σ的極限位置稱為曲線Cp點的密切平面,它在p點的法線稱為曲線Cp點的次法線,曲線Cp點的切線和次法線決定的平面稱為曲線Cp點的從切平面。p點的法線稱為曲線Cp點的主法線(圖2)。
曲線
以"·"表示關於弧長參數s的導數,並且設
曲線

  曲線

那和b(s)=t(s)×n(s)分別是曲線Cp(s)點的切線、主法線和次法線上的單位向量,並且t(s)指向曲線C的正向。n(s)指向曲線凹入的一方。t(s)、n(s)和b(s)按此順序構成右手系,且分別稱為曲線Cp(s)點的切向量、主法向量和次法向量。{r(s),t(s),n(s),b(s)}稱為曲線Cp(s)點的弗雷內標架。曲線
C的每一點都有弗雷內標架。為研究曲線上兩個鄰近點上弗雷內標架之間的變換關係,要討論t(s)、n(s)和b(s)關於s的導向量,它們可由標架向量線性表出,這就是下述曲線論的基本公式(弗雷內公式):
曲線

  曲線

式中k(s)和τ(s)分別被稱為曲線Cp(s)點的曲率和撓率。曲率
曲率
這是切向量t(s)和t(s+Δs)之間的夾角。故曲率度量了曲線上相鄰兩點的切向量的夾角關於弧長的變化率。直線的曲率恆為 0。圓周的曲率等於其半徑的倒數。當曲線Cp(s)點的曲率k≠0時,在p(s)點的主法線上沿n(s)的正向取點Q,使得pQ=1/k,在p點的密切平面上以Q為中心,1/k為半徑的圓稱為曲線Cp點的曲率圓或密切圓,Q和1/k分別稱為曲率中心和曲率半徑。密切圓是過曲線Cp(s)點和鄰近兩點的圓的極限位置。撓率
撓率
曲線

  曲線

,它的絕對值
曲線

  曲線

度量了曲線上鄰近兩點的次法向量之間的夾角對弧長的變化率。平面曲線是撓率恆為零的曲線。空間曲線如不是落在一平面上,則稱為撓曲線。
p0(s0)點的曲率和撓率均不為零,取p0為原點,曲線的切線、主法線和次法線為坐標軸,在p0附近,曲線可近似地表示為:
曲線

  曲線

所以曲線Cp0點鄰近的近似形狀。
整體性質
以曲線的全部或確定的一段作為研究對象時,就得到曲線的整體的幾何性質。設曲線C的參數方程為r=r(s),s∈【α,b)】,s為弧長參數,若其始點和終點重合r(α)=r(b)),這時曲線是閉合的,稱為閉曲線。若它在這點的切向量重合,即r┡(α)=r┡(b)),且自身不再相交,則稱為簡單閉曲線。對於正則閉曲線C,把它的切向量t(s)的始點放在原點,t(s)的終點軌跡是單位球面上的一條閉曲線,它稱為曲線C的切線像或切線標形。C的切線像的長度為
曲線

  曲線

等式右方是閉曲線C的曲率k(s)沿C的積分,自然就稱為曲線C的全曲率,表示。正則閉曲線的全曲率等於其切線像的長度。關於正則閉曲線的全曲率的界限有下述二定理。芬切爾定理
正則閉曲線C的全曲率,且等號僅當C為平面凸閉曲線時成立。這定理給出了正則閉曲線的全曲率的下限,白正國將此定理推廣到分段光滑的閉曲線。法里-米爾諾定理
簡單正則有結空間閉曲線的全曲。
閉曲線C的撓率τ(s)沿自身的積分
曲線

  曲線

自然就稱為C的全撓率。球面上閉曲線的全撓率等於零,反之,如果非平面的曲面上任意閉曲線的全撓率都等於零,那麼這曲面為球面或其一部分。
C為平面正則閉曲線,則當點繞C一周時,曲線C的切線像t(s)將在單位圓周上繞若干圈,這個圈數ir(以逆時針向環繞時圈數為正,順時針向時為負)稱為C的旋
曲線

  曲線

轉指標,可算得 :
這裡kr(s)是C的相對曲率。切線迴轉定理表明:平面簡單正則閉曲線的旋轉指標ir等於±1。
將平面上一條定長的細繩首尾相接而構成一條簡單閉曲線,它把平面分成以其為公共邊界的二個部分,它所圍成的區域的面積為最大時,其形狀是圓周。有如下更精確的結論:設曲線C是長度為L的平面正則簡單閉曲線,AC所圍區域的面積,那麼L2-4A≥0,並且等號當且僅當C是圓周時成立。上述不等式有過種種的推廣,這類問題叫做等周問題。對於平面曲線,與空間曲線論基本定理相仿,它的形態由其相對曲率kr(s)所確定,故kr(s)的極值自然是令人感興趣的。相對曲率kr(s)的逗留點,的點稱為曲線的頂點,對於凸閉曲線,即位於其上每一點的切線的一側的曲線,成立著名的四頂點定理:平面凸閉曲線至少有四個頂點,因為橢圓只有四個頂點,所以這個結論不能再改進。此外,還可以利用柯西-克羅夫頓公式來計算平面正則曲線的長度(見積分幾何學)。

3曲線與方程

求曲線方程的方法
1、建立適當的直角坐標系,用有序數對(x,y)表示曲線上點的坐標。
2、寫出適合條件的點M的集合{M|P(M)}。
3、用坐標表示條件P(M),列出方程。
4、化方程為最簡形式。
5、證明這方程是曲線的方程。
注意:點既不能多也不能少。
直接法
如果動點滿足的幾何條件本身就是幾何量的等量關係,或這些幾何條件簡單明了且易於表達,那麼我們只須把這些幾何條件轉化成含有變數的數值表達式,化簡成曲線方程。
代入法
當形成曲線的動點P(x,y),隨著另一個已知曲線f(x,y)=0上的動點Q(w,z)有規律的運動時,我們可以得到w=g(x,y),z=h(x,y),再利用f(x,y)=0就可得到曲線方程。
基本信息
影片類型:喜劇
片長:USA:90 min
對白語言:英語
色彩:彩色
演員表
角色演員備註
Johnny亞當·崔斯/Adam Trese----
ChrisJim Breuer----
Mike Ameche波特·楊----
Jimmy PicoTony Darrow----
Manny約翰·卡斯特洛/John Costelloe----
AndreaAlison Bartlett----
Annoying CustomerColin Quinn----
CharlieDavid Johansen----
Cliff馬里奧·坎通/Mario Cantone----
Sal (as Joseph D'Onofrio)Joe D'Onofrio----
JoeAnthony Mangano----
Hard Boiled安妮·米拉/Anne Meara----
Detective AndersonJohn F. O'Donohue----
Detective HarrisFrank Santorelli----
One GloveHarry O'Reilly----
BillyJeff Kahn----
Pizza BoyJohn Scurti----
SupervisorJohn Canada Terrell----
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職員表

  •  製作人:Sean P. Casey;David Levine;Christopher Lynn;Harry O'Reilly;Michael O'Reilly;Simon Posen
  •  導演:Harry O'Reilly
  •  副導演(助理):Evan Barba;James Mastracco;Jim Muscarella;Rob Nardiello
  •  編劇:Christopher Lynn;Harry O'Reilly
  •  攝影:Thomas Ostrowski;Stephen Treadway
  •  剪輯:Sam Adelman
  •  選角導演:Susie Farris
  •  藝術指導:Cindi Sfinas
  •  美術設計:Ryan Cooper
  •  服裝設計:Jennifer Galvelis;Cara Tabachnick
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