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曲面 是微分幾何研究的主要對象之一。曲面的局部性質指曲面在一點附近的幾何性質。

1 曲面 -曲面

2 曲面 -正文

  微分幾何研究的主要對象之一。直觀上,曲面是空間具有二個自由度的點的軌跡。設r=(x,y,z)表示三維歐氏空間E3中點的位置向量,D是二維uυ- 平面的一個區域,映射' >曲面r(u,υ)=(x(u,υ),y(u,υ),z(u,υ))((u,υ)∈D) (1)的像為S。它滿足下列條件:①r(u,υ)是Ck階的,即函數x(u,υ),y(u,υ),z(u,υ)具有直到k階的連續偏導數,當它們是無窮次可微分函數或是(實)解析函數時,分別稱為是C階和Cω階的;②r(u,υ)是一個同胚,即它的逆映射S→D存在且連續;③r(u,υ)是正則的,即雅可比矩陣

' >曲面

的秩為2,也即' >曲面那麼,S稱為E3Ck曲面片,C曲面片也稱為光滑曲面片,Cω曲面片稱為解析曲面片。設慏為E3中的一個子集,如果對慏中任意點p,都有E3p的一個開集V,使得V∩慏是E3中的一個Ck曲面片,則慏 稱為E3中的Ck曲面。
  (1)式稱為曲面的參數方程。此外,曲面有時也可用z=?(x,y)或F(x,y,z)=0來表示。
       

曲 面 的 局 部 性 質


  指曲面在一點附近的幾何性質。
  曲面S上一條曲線,可用單變數t的函數u=u(t),υ=υ(t)來表示,即rr(u(t),υ(t))。特別地,曲線υ=常數(u=常數)稱為Su-線(υ-線),它們彼此不相切,統稱為S的參數曲線。曲面上全體參數曲線構成曲面的參數曲線網。地球上的經線和緯線構成地球表面的參數曲線網(南北極除外)。
  在Ck階曲面S的每點,都有一張切平面,它是由過該點的曲面上一切曲線在這點的切線所組成。設p0(u00)是S的一點,考慮過p0S上任意曲線Г:rr(u(t),υ(t)),使得u0=u(t0),υ0=υ(t0)。Г在p0的切線方向便由向量

' >曲面

' >曲面

確定,式中' >曲面分別表示u-線和υ-線的切線方向。因此,只要' >曲面(u00)就是Sp0的切平面的法線方向。通常取

' >曲面

作為S上參數為(u,υ)的點p處的單位法向量(圖1)。
曲面曲面
  曲面的第一基本形式  在曲面上一點的附近,曲面與該點的切平面只有很小的差異,因此,曲面上曲線Г在一點的弧長微分ds可用Г在該點的切向量長度' >曲面來計算,即

' >曲面   (2)

式中 ' >曲面它們是曲面上點的函數。二次微分形式(2)稱為曲面的第一基本形式,或線素。利用它,就可以計算曲面上一段曲線的長度、兩相交曲線在交點所構成的角度及曲面上一塊區域的面積。
  曲面的第二基本形式  曲面在給定點p的彎曲程度由曲面與p點切平面的偏離程度決定。然而沿不同的切方向,曲面偏離切平面的方式可能有差異。因此,考慮p點的位置向量r沿某個給定切方向du:dυ作微小變動時的改變數Δr,那麼,曲面與切平面在給定方向的偏離程度可用δ=n·Δr來描述。若在Δr的展開式中只取到二階項,則' >曲面等於

' >曲面  (3)

式中' >曲面(3)式稱為曲面的第二基本形式。
  過p由給定方向du:dυ和曲面法方向n惟一確定的平面W叫做法截面,它與曲面S 的交線Г 叫做沿給定方向的法截線(圖2曲面)。設曲線Г(作為空間曲線)在p的曲率為k,主法向量為N。那麼,向量kN在曲面單位法向量n上的投影kN·n稱為Sp點沿給定方向du:dυ的法曲率,記作kn。利用(2)和(3)就可以計算沿給定方向du:dυ的法曲率kn=Ⅱ/Ⅰ。kn為正時,表示Г的凹向與S的法向量n一致;反之,kn為負時,表示兩者相反。
  在曲面的每點,一般存在兩個互相垂直的切方向,使得它們對應的法曲率k1k2是該點所有法曲率中的最大和最小值。這兩個方向稱為曲面在該點的主方向,而k1k2稱為主曲率。L.歐拉定理表明:若給定方向與對應於k1的主方向作成φ角,則曲面沿這給定方向的法曲率kn(φ)是:

' >曲面    (4)

由(4),只要曲面在一點的主曲率已知,曲面在該點附近的大致形狀就可確定。若k1k2同號,則kn(φ)的符號不變,這種點稱為橢圓點。在橢圓點附近,曲面全部位於該點切平面的同側。若k1k2異號,則kn(φ)要改變兩次符號,這種點稱為雙曲點。在雙曲點附近,曲面像馬鞍形。若k1k2中只有一個為零,這種點稱為拋物點。當k1=k2=k時,(4)給出kn(φ)=k,即曲面在該點沿任何切方向都有相同的法曲率。這種點稱為臍點,其中k≠0時稱為圓點,k=0時稱為平點。
  在曲面的一點p,通過給定切方向的平面,除了法截面外,還有不經過曲面法線的其他平面Q(圖2)。它與曲面的交線的曲率k,可由給定切方向的法曲率knQ與法截面的夾角θ所確定(默尼耶定理):k=|kn|/cosθ。若曲面上一條曲線每點的切方向總是曲面的主方向,則稱它為曲率線。當選取弧長s作參數時,曲率線上點的向徑r(s)與曲面在該點的單位法向量n(s)之間存在如下關係(羅德里格斯方程):
        dn=-kdr,式中k(s)是該曲率線方向的主曲率。
  主曲率k1k2的算術平均值H稱為曲面的平均曲率,又稱中曲率。其算式是

' >曲面

平均曲率恆為0的曲面稱為極小曲面。
  高斯曲率  兩主曲率的乘積K 稱為曲面的總曲率或高斯曲率,其算式是' >曲面K反映了曲面的一般彎曲程度。事實上,考慮包含一點p的一小片曲面∑,把∑上每點的單位法向量n平移到E3的原點O,那麼n終點的軌跡是以O為中心的單位球面S2上的一塊區域∑' >曲面' >曲面。這個對應稱為高斯映射。∑的彎曲程度可用∑曲面與∑的面積之比來刻畫,曲面在p的總曲率的絕對值正是這個比值當∑收縮成p時的極限。曲面通過高斯映射,在它的像集(嶅S2)上誘導一個度量

' >曲面   (5)

式中' >曲面(5)叫作曲面的第三基本形式,它與第一、第二基本形式之間存在如下關係:

' >曲面

  曲面的內蘊性質和測地線  曲面上只與第一基本形式係數EFG有關的幾何性質稱為曲面的內蘊性質。曲面的內蘊性質也可這樣描述:把曲面設想為由可以彎曲但不能伸縮的材料製成,那麼它的任何一部分在經受彎曲變形時,不改變其上任何線段的長度。曲面在這種無伸縮的彎曲變形下保持不變的性質就是內蘊性質。例如,在一張紙上,用直線段連接兩個點,然後把紙彎捲起來,於是直線段變成了曲線段,但保持這樣的性質:它仍是曲面上連接這兩個已知點的最短曲線。這就是內蘊性質。相反,這條曲線的曲率卻與紙的彎卷方式有關,因而不是內蘊的。曲面上曲線的內蘊彎曲程度,可以用「測地曲率」加以刻畫。設Г是曲面S的一條曲線,那麼Г 在一點p∈Г 的測地曲率的絕對值等於Г在p的曲面切平面上正投影像的曲率。測地曲率處處為零的曲線稱為測地線,它在曲面上起著類似於直線在平面上的作用。
  高斯「極妙定理」  曲面的主曲率在無伸縮彎曲變形下要發生變化,因而不是內蘊的。但是,主曲率的乘積即總曲率K卻在這樣的彎曲變形下保持不變,也即曲面的總曲率是內蘊的。這就是著名的高斯「極妙定理」。
  曲面論基本定理  為了完全確定一片曲面的幾何形狀,六個函數EFGLMN要滿足什麼條件?這就導致以C.F.高斯和D.科達齊命名的一組二階偏微分方程。P.-O.博內把這些總結成下面的曲面論基本定理:設D是uυ-平面的一個單連通區域,在D上給定兩個二次微分形式(2)和(3),其中(2)正定。若它們的係數滿足高斯-科達齊方程,則除了空間的位置差異外,惟一地存在一片曲面,它以(2)和(3)作為第一和第二基本形式。       

曲 面 的 整 體 性 質


  指曲面的大範圍幾何性質。設S是三維歐氏空間的一個連通曲面。在S上任一點p選取一個法向量n,然後令點p在曲面上沿任意閉曲線移動一周(當S有邊界時,限定p不能逾越邊界)。若p回到原處時n的正向不改變,則稱S是可定向的曲面;否則就稱不可定向的曲面。許多常見的曲面如球面、環面都是可定向的;但也有不可定向的曲面,最著名的就是麥比烏斯帶,它是把一條矩形帶扭轉180度,再將頭尾粘接而成(見閉曲面的分類)。
  考慮可定向曲面S上一個區域D,它的邊界嬠D(如果存在)由若干條逐段光滑的曲線組成。如同平面區域那樣,用適當方式(如拓撲學中的三角剖分)把D分成許多多邊形。用υ,e?分別表示總的頂點數、邊數和面數(多邊形個數),那麼,數ⅹ(D)=υ-e+?與具體分法無關。它是D的一個重要拓撲不變數,叫做D的歐拉示性數。對於S上的單連通區域D,ⅹ(D)=1。
  作為平面上多邊形外角和公式的推廣,在可定向曲面S上,對於區域D有下列高斯-博內公式:

' >曲面      (6)

式中' >曲面是邊界嬠D上所有角點處的外角之和,' >曲面是構成嬠D的曲線的測地曲率,K是曲面的總曲率。沿嬠D曲線積分時嬠D的正向規定如下:設n是確定S一個定向的法向量,當站在n的正方向,沿嬠D的正向走時,區域D時刻位於嬠D的左邊。公式(6)把曲面的幾何性質與拓撲性質聯繫起來了。當D是平面上單連通區域時,(6)就成為平面閉曲線的切線迴轉指標定理(見曲線)。如果S是緊緻無邊界的可定向曲面,則(6)成為

' >曲面。 (7)

由於這類曲面可作完全的拓撲分類,公式(7)就顯得格外重要。C.B.艾倫多弗、陳省身給出了高斯-博內公式在高維流形上的推廣。
  高斯-博內公式有許多重要應用,其中之一就是關於曲面上向量場奇點的龐加萊定理:設S是緊緻無邊界的可定向曲面。對於S上任何只有孤立奇點的向量場,它在所有奇點處的指標之和等於S的歐拉示性數。因為球面(以及與球面同胚的閉曲面)的歐拉示性數為2,所以球面上的向量場必有奇點。這一點可比喻如下:若把地球上各地的風速看成一個向量場,則任何時候地球上總有一個地方沒有風。
  與球面同胚的緊緻閉曲面中,總曲率處處大於零的那些曲面稱為卵形面。J.(-S.)阿達馬指出,卵形面的高斯映射是一個微分同胚,因而卵形面微分同胚於球面。卵形面作為一個整體,在空間不能無伸縮地彎曲變形,這叫做卵形面的剛性(H.李卜曼、S.科恩-福森)。關於卵形面的剛性,還有所謂閔科夫斯基問題和克里斯托費爾問題的惟一性。
  從整體來說,除了象球面那樣的緊緻曲面外,另一類重要曲面便是非緊緻的完備曲面(如平面),即它作為二維度量空間,每個柯西點列都收斂。曲面的完備性可用下列任一性質來表徵:①曲面上每條測地線可以無限延長(包括構成封閉曲線);②曲面上每個有界子集是相對緊緻的。由此可見,緊緻曲面必是完備的,反之不然。但如果完備曲面的總曲率處處不小於某個正常數,則它必是緊緻的。這裡總曲率的限制是本質性的,在相反的情況下,可得到絕然不同的結論:三維歐氏空間E3中不存在總曲率處處不大於某個負常數的C2階完備曲面(葉菲莫夫),特別是E3中不存在負常曲率的C2階完備曲面。
        

特 殊 曲 面


  特殊曲面是在實際應用中常常碰到的具有特殊幾何性態的曲面。
  旋轉面  平面上一條曲線Г繞平面內某一固定直線l旋轉而得的曲面稱為旋轉面,l稱為旋轉面的軸,Г 稱為母線。圓柱面、圓錐面和球面是最簡單的旋轉面。若Г所在平面取作E3yz平面,l取作z軸,那麼當Г 的參數方程為y=?(υ),z=h(υ)時,Γl旋轉生成的曲面方程是r(u,υ)={?(υ)cosu,?(υ)sinu,h(υ)}。旋轉面上的u線稱為緯線,υ線稱為經線,它們都是旋轉面的曲率線。當Г是一個與軸l不相交的圓周時,便得到像汽車輪胎那樣的圓環面。
  懸鏈面  由yz平面上的懸鏈線:' >曲面α=常數≠0)繞z軸旋轉而成。它的重要性在於:它是E3中僅有的旋轉極小曲面(見極小曲面)。
  偽球面  總曲率為常數的曲面稱為常曲率曲面。具有相同常曲率的兩片曲面,可通過無伸縮的彎曲變形而彼此貼合。球面是正的常曲率曲面,負的常曲率曲面稱為偽球面,它可由yz平面上的曳物線:y=α cos υ,z=α【ln(sec υ+tan υ)-sin υ】(α=常數≠0),繞z軸旋轉而成。由已知的負常曲率曲面,通過構造一個偽球線匯,可得到另一個相同負常曲率的曲面。這個過程叫做巴克倫德變換。因為非線性的正弦戈登方程的解與常負曲率-1的曲面存在一一對應關係,所以利用巴克倫德變換,便可從這種方程的已知解得到其他新的解。巴克倫德變換還被推廣到其他許多非線性方程中去。
  直紋面和可展曲面  由空間一族連續變動的直線(叫直母線)生成的曲面稱為直紋面;沿每條直母線,其切平面彼此重合的直紋面稱為可展曲面。設 Г:ra(u)是直紋面上與所有直母線相交的任意曲線,l(u)是過點a(u)的直母線上的非零向量,則直紋面的方程可寫為r=a(u)+υl(u)。當Г縮成一點時,稱為錐面;當l(u)為常向量時,稱為柱面;當l(u)=a┡(u)時,稱為Г的切線曲面。錐面、柱面和切線曲面是僅有的可展曲面,它們的一個特徵是總曲率恆為零。
  空間曲線的主法線或副法線所生成的直紋面分別稱為主法線曲面或副法線曲面。圓柱螺線的主法線曲面是正螺面,它可看作x軸繞z軸作螺旋運動(一方面繞z軸旋轉,另一方面又沿z軸移動與轉角成正比的距離)所生成的曲面。正螺面是僅有的直紋極小曲面。
  一般地,空間曲線Г繞z軸作螺旋運動而得的曲面稱為一般螺面。當Г是xy平面的一條漸開線時,便得漸開線螺面。當Г是一條與z軸相交,且與xy平面作成定角的直線時,可得阿基米德螺面。這兩種螺面在機械製造中十分有用,前者是普通斜齒輪的齒面,後者可作為某種蝸桿的齒面。
         

包 絡


  包絡是以某種方式與一族曲線(或曲面)相切的曲線(或曲面)。
  鐵軌上滾動的車輪在不同時刻的位置構成一個圓心在一條直線上的等半徑圓族,而鐵軌與這族圓相切,所以鐵軌是這族圓的包絡。一般地,設平面上有一單參數曲線族{Cλ}。若存在一條曲線Г,它在每點均與{Cλ}中惟一的一條曲線相切,則稱Г為單參數曲線族{Cλ}的包絡。
  設單參數曲線族{Cλ}位於xy平面上,其方程為

Cλ?(x,y;λ)=0,

式中λ是參數。如果{Cλ}的包絡曲線Г存在,則Г的方程是

' >曲面

  顯然,每條曲線是它自己的切線族的包絡。
  類似地,對於空間的曲面族,可考慮它們的包絡面。設{Sλ}是一單參數曲面族,若存在曲面,使得在每點均與{Sλ}中惟一的一張曲面相切,則稱是單參數曲面族{Sλ}的包絡。設{Sλ}的方程是

SλF(x,y,z;λ)=0,

則{Sλ}的包絡面方程是

F(x,y,z;λ)=0,

' >曲面

  對於{Sλ}中兩張鄰近的曲面Sλ和' >曲面,它們的交線在 Δλ→0時的極限位置稱為Sλ的特徵線。特徵線族的包絡(如果存在)稱為曲面族{Sλ}的脊線,它的方程是

F(x,y,z;λ)=0,

' >曲面

  每張曲面是它的切平面族的包絡。一般說,曲面的切平面族是二個參數的平面族。但在可展曲面上,沿著每條直母線,其切平面彼此重合,因此,可展曲面(除平面外)的切平面族是單參數的。反之,一單參數平面族的包絡面必是可展曲面。如果這可展曲面是某一曲線Γ的切線曲面,則Γ就是對應的單參數平面族的脊線。
  包絡理論在工程中有廣泛應用。齒輪的嚙合與傳動是基於平面上漸開線族的包絡理論;銑床上銑刀的型面設計和軋鋼設備中軋棍的外形要求都是空間曲線族的包絡理論的具體應用。
  參考書目
 蘇步青等編:《微分幾何》,高等教育出版社,北京,1979。
 吳大任編:《微分幾何講義》,第4版,高等教育出版社,北京,1981。
 M.P.Do CARMO,Differential Geometry of Curves and Surface, Prentice-Hall,Englewood Cliffs, New Jersey,1976.

3 曲面 -配圖

4 曲面 -相關連接

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