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曲面纖維化是代數幾何中的重要課題。
設S是光滑代數曲面,C是光滑代數曲線.
如果存在一個全純的滿態射 f:S→C,那麼就稱S有一個到的C纖維化。
C上每一點在f下的原像都稱為f的纖維,通常用F表示。F顯然是一條代數曲線。 任何兩條纖維都不相交,並且數值等價--這就是所謂的Zariski引理的特殊情形。
如果一條纖維F不是光滑的既約曲線,就稱為奇異纖維,它在f下的像稱為C上的臨界點。 顯見C上的臨界點至多只有有限個。 換句話說,f的大多數纖維是光滑曲線;由Zariski引理,它們的虧格是相同的,記為g. 這個數值不變數g被稱為纖維f的虧格。
奇異纖維包含了大量的信息,是我們最感興趣的對象。 如果f:S→C的所有纖維都光滑,那麼就稱f是Kodaira(小平邦彥,日本數學家,菲爾茲獎得主)纖維化。
纖維化的虧格是研究的一個主要依據。 g=0時就稱f為直紋面;g=1稱為橢圓纖維;g=2是最簡單的超橢圓纖維化,這方面Horikawa(崛川寅二,日本數學家)和肖剛等人做了大量傑出的工作。
對高虧格以及高維數的纖維化,仍然有許多東西值得挖掘。 許多數學家都在從事這一研究,比如肖剛、 談勝利,陳志傑,Catanese, Viehweg, 左康,Ashikaga,Konno...
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