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曼德勃羅集合

標籤:分形

曼德布羅特集合(Mandelbrot set)是在複平面上組成分形的點的集合。

1定義

曼德布羅特集合可以用復二次多項式
來定義 其中c是一個復參數。對於每一個c,從開始對fc(z)進行迭代。
序列 的值或者延伸到無限大,或者只停留在有限半徑的圓盤內。
曼德布羅特集合就是使以上序列不延伸至無限大的所有c點的集合。
從數學上來講,曼德布羅特集合是一個複數的集合。一個給定的複數c或者屬於曼德布洛特集合M,或者不是。

2計算的方法

曼德布羅特集合一般用計算機程序計算。對於大多數的分形軟體,例如Ultra fractal,內部已經有了比較成熟的例子。下面的程序是一段偽代碼,表達了曼德布洛特集合的計算思路。
For Each z0 in Complex repeats = 0 z=z0 Do z=z^2+z0 repeate = repeats+1 Loop until abs(z)>Bailout or repeats >= MaxRepeats If repeats >= MaxRepeats Then Draw z0,Black Else Draw z0,f(z,z0,Repeats) 'f返回顏色 End IfNextf函數的一些例子直接利用循環終止時的Repeats 綜合利用z和Repeats Orbit Traps也可以用Mathematica製作 DensityPlot[Block[{z, t = 0}, z = x + y*I; While[(Abs[z] < 2.0) && (t < 100), ++t; z = z^2 + x + y*I]; Return[t]],{x, -2, 0.8}, {y, -1.5, 1.5}, PlotPoints -> 500, Mesh -> False]
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