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替換公理模式

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  替換公理模式是集合論的ZF公理系統中的一個公理模式。替換公理模式有時被其形式上更弱,在其他公理(包括分離公理模式)下等價的收集公理模式替代。替換公理模式的表述是:「對任意集合x和任意對x的元素有定義的邏輯公式F(z),存在集合y,使w∈y當且僅當存在z∈x而且F(z)=w」。收集公理模式的表述是:「對任意集合x和定義在x和所有集合的類上的二元關係A(z,w),如果對任何z∈x都存在w使A(z,w)為真,那麼存在集合y,使得存在z∈x,就存在w∈y,使A(z,w)為真」。


  替換公理模式的應用之一是用來構造序數ω·2。從空集開始,不斷應用並集公理和無序對公理(用來構造{x})可以證明所有自然數的存在,通過無窮公理和分離公理模式可以證明ω的存在,繼續取後繼可以證明ω+i(i∈N)的存在,但是因為不用替換公理模式無法證明這些序數組成一個集合,所以無法證明ω·2的存在。利用替換公理模式可以將N替換為{x|x=ω+i,i∈N},與N取並集即可。同理,證明每個良序集都有對應的序數也要用到替換公理模式。

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