標籤:整數無理數有理數

有理數是整數和分數的統稱,一切有理數都可以化成分數的形式。

1概況

關係
正整數、0、負整數統稱為整數;正分數、負分數統稱為分數。整數和分數統稱為有理數。
(有限小數、無限循環小數可以化成分數,所以我們也看成有理數。)
實數分為有理數和無理數。
實數是虛部為0的複數。
運算律
①加法的交換律a+b=b+a;  如:1+2=2+1
②加法的結合律a+(b+c)=(a+b)+c; 如(1+2)+3=1+(2+3)
③乘法的交換律 ab=ba   如:1×2=2×1
④乘法的結合律 a(bc)=(ab)c;  如:1×(2×3)=(1×2)×3
⑤乘法的分配律a(b+c)=ab+ac   如:1×(2+3)=1×2+1×3

2運演算法則

減法
法則
有理數減法法則:減去一個數,等於加上這個數的相反數。其中:兩變:減法運算變加法運算,減數變成它的相反數做加數。一不變:被減數不變。可以表示成: a-b=a+(-b)。
除法
法則
(1)除以一個數等於乘以這個數的倒數。(注意:0沒有倒數)
(2)兩數相除,同號為正,異號為負,並把絕對值相除。
(3)0除以任何一個不等於0的數,都等於0。
注意:
0在任何條件下都不能做除數。

3相關概念

有理數是特殊的實數,實數的相關概念非負數、非正數、相反數、數軸、絕對值等對有理數也適用。
相反數
(1)定義:如果兩個數的和為0.那麼這兩個數互為相反數.
(2)求相反數的公式: a的相反數為-a.
(3)性質:①a≠0時,a≠-a;②a與-a在數軸上的位置關於原點對稱;③兩個相反數的和為0,商為-1。
(4)注意:0的相反數是0。
絕對值
(1)代數定義:正數的絕對值是它的本身,0的絕對值是它的本身,負數的絕對值是它的相反數。
(2)幾何定義:數a的絕對值頂的幾何意義是實數a在數軸上所對應的點到原點的距離。
①符號"││」絕對值的標誌;
②數a的絕對值只有一個;
③處理任何類型的題目,只要其中有"││」出現,其關鍵一步是去掉"││」符號,如果有「-」要繼續計算。

從整數到有理數

人類先認識了整數,然後才認識了有理數。從直覺上可以感覺到,有理數和它的運算都可以由整數得到。下面就提供了一種方法:
  定義有理數為整數對(a,b)的等價類,其中b非零。定義a/b=c/d,如果ad=bc。定義有理數乘法為(a/b)*(c/d)=ac/bd,定義a/b的倒數為b/a,如果a,b非零。定義有理數加法為a/b+c/d=(ad+bc)/bd,定義a/b的相反數為(-a)/b,定義a-b為a+(b的相反數)。將a/1和a等同,則可以證明整數是有理數的一部分,加法減法乘法的定義是相符的。這樣,在非零有理數上,我們有倒數的概念。非零有理數和它倒數的積是1,1和任意有理數的積是其自身。在有理數上,定義a÷b為a*(b的倒數),如果b非零。可以驗證,這樣定義的加減乘除滿足要求的運算規律。
  更一般地,這個步驟可以讓含幺交換環變成域的一部分。在數學上有很大的理論意義。
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