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在數學分析和有關的數學領域中,一個集合被稱為有界的,如果它在特定意義上有有限大小。反過來說沒有界的集合叫做無界的。

1 有界集合 -概念

有界集合(頂上的)有界集合和(底下的)無界集合的示意圖。底下的這個集合一直向右延續。

若對於集合E,存在某個正數ρ,使得E中一切點都在以原點為心以ρ為半徑的圓之內,則稱E為有界集合。

實數集合 S 被「上有界」的,如果對於所有 S 中的 s 有一個實數 k 使得 k ≥ s。這個數 k 被稱為 S 的上界。可類似的定義術語「下有界」和下界。
 
集合 S 是有界的,如果它有上界和下界二者。所以,實數集合集合是有界的,如果它包含在有限區間內。 
 

2 有界集合 -度量空間

 度量空間 (M, d) 的子集 S 是有界的,如果它包含在有限半徑的球內,就是說如果對於所有 S 中的 s存在 M 中的 x 並且 r > 0,我們有 d(x, s) < r。M 是有界度量空間(或 d 是有界度量),如果 M 作為自身的子集是有界的。

 •完全有界性蘊涵有界性。對於 Rn 的子集下列二者是等價的。
 •度量空間是緊緻的,當且僅當它是完備的並且是完全有界的。
 •歐幾里得空間 Rn 的子集是緊緻的,當且僅當它是閉集並且是有界的。 
 

3 有界集合 -拓撲向量空間內的有界性

在拓撲向量空間中,存在叫做馮·諾伊曼有界性的不同的有界集合定義。如果拓撲向量空間的拓撲是引發自均勻度量,如度量是引發自賦范向量空間的范數的情況,則這兩個定義是一致的。 
 

4 有界集合 -序理論中的有界性

 實數的集合是有界的,當且僅當它有上界和下界。這個定義可擴展到任何偏序集合的子集。注意這個更一般性的有界性概念不對應於「大小」的概念。
 
偏序集合 P 的子集 S 叫做上有界的,如果對於所有 S 中的 s,有 P 中一個元素 k 使得 k ≥ s。元素 k 叫做 S 的上界。可類似的定義下有界和下界。
 
偏序集合 P 的子集 S 叫做有界的,如果它有上界和下界二者,或等價的說,它被包含在一個區間內。注意這不是集合 S 自己的一個性質,而是集合 S 作為 P 的子集的性質。
 
有界偏序集合 P(就是說自身就是有界而不是作為子集)是有最小元素和最大元素的偏序集合。注意這個有界性的概念與有限大小無關,有界偏序集合 P 的子集 S 帶有把在 P 上的次序的限制的作為次序不必然是有界偏序集合。
 
Rn 的子集 S 是關於歐幾里得距離有界的,當且僅當它作為帶有乘積序的 Rn 的子集是有界的。但是,S 可以作為關於帶有詞典序而不關於歐幾里得距離的 Rn 的子集是有界的。
 
序數的類被稱為是無界的,或共尾的,在給定任何序數的時候,總是有這個類的某個成員大於它。所以在這種情況下,「無界」不意味著自身是無界的而是作為序數類的子類是無界的。

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