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僅含有限多個元素的域。它首先由E.伽羅瓦所發現,因而又稱為伽羅瓦域。它和有理數域、實數域比較,有著許多不同的性質。

簡介
最簡單的有限域是整數環Z 模一個素數p得到的余環Z/(p),由p個元素0,1,…,p-1組成,按模p相加和相乘。
J.H.M.韋德伯恩於1905年證明了「有限除環必是乘法交換的」。因此,有限除環就是現在所說的有限域。
條件
集合F={a,b,…},對F的元素定義了兩種運算:「+」和「*」,並滿足以下3個條件,
·F1:F的元素關於運算「+」構成交換群,設其單位元素為0。
·F2:F\{0}的元素關於運算「*」構成交換群。即F中元素排除元素0后,關於*法構成交換群。
·F3:分配率成立,即對於任意元素
a,b,c∈F,
恆有
a*(b+c)=(b+c)*a=a*b+a*c
p是素數時,可證F{0,1,2,…,p-1},在modp意義下,關於求和運算「+」,及乘積「*」,構成了域。F域的元素數目有限時稱為有限域。
有限域的階
有限域元素的數目稱為有限域的階。對於有限域,其元素的數目必然是素數的冪。而這個對應的素數成為有限域的特徵。在編碼和密碼理論裡面2^n階有限域被廣泛使用,具有非常重要的意義。
而另外,所有階數相同的有限域是同構的。也就是說,從本質上講,給定有限域的階,有限域就唯一確定了。
費馬小定理有限域推廣
假設一個有限域的階是q=p^n,那麼對於有限域裡面任意一個元素x,x^q=x,這個就是數論中費馬小定理在有限域中的推廣。
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