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期望值,在概率和統計學中,一個隨機變數的期望值(或期待值)是變數的輸出值乘以其機率的總和,換句話說,期望值是該變數輸出值的平均數。期望值並不一定包含於變數的輸出值集合里。

1 期望值 -定義

例如,美國賭場中經常用的輪盤上有38個數字,每一個數字被選中的幾率都是相等的。賭注一般壓在其中某一個數字上,如果輪盤的輸出值和這個數字相等,那麼下賭者可以將相當於賭注35倍的獎金和原賭注拿回(總共是原賭注的36倍),若輸出值和下壓數字不同,則賭注就輸掉了。因此,如果賭注是1美元的話,這場賭博的期望值是:( -1 × 37/38 ) + ( 35 × 1/38 ), 結果是 -0.0526。也就是說,平均起來每賭一次就會輸掉5美分。

數學定義
如果X是在機率空間(Ω, P)中的一個隨機變數,那麼它的期望值 E(X) 的定義是:
   E(X)=∫ΩXdp


並不是每一個隨機變數都有期望值的,因為有的時候這個積分不存在。如果兩個隨機變數的分佈相同,則它們的期望值也相同。

如果 X 是一個離散的隨機變數,輸出值為 x1, x2, ..., 和輸出值相應的機率為p1, p2, ... (機率和為1), 那麼期望值 E(X) 是一個無限數列的和。


上面賭博的例子就是用這種方法求出期望值的。

如果X的機率分佈存在一個相應的機率密度函數 f(x),那幺 X 的期望值可以計算為:


這種演算法是針對於連續的隨機變數的,與離散隨機變數的期望值的演算法同出一轍,由於輸出值是連續的,所以把求和改成了積分。

2 期望值 -特性

期望值 E 是一個線形函數

X 和 Y 為在同一機率空間的兩個隨機變數,a 和 b 為任意實數。
一般的說,一個隨機變數的函數的期望值並不等於這個隨機變數的期望值的函數。

在一般情況下,兩個隨機變數的積的期望值不等於這兩個隨機變數的期望值的積。特殊情況是當這兩個隨機變數是相互獨立的時候(也就是說一個隨機變數的輸出不會影響另一個隨機變數的輸出)。

期望值的運用
在統計學中,當估算一個變數的期望值時,一個經常用到的方法是重複測量此變數的值,然後用所得數據的平均值來作為此變數的期望值的估計。

在概率分佈中,期望值和方差或標準差是一種分佈的重要特徵。

在經典力學中,物體重心的演算法與期望值的演算法十分近似。

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