1簡介

柯氏定理,卡塔朗猜想的重大突破。

2背景

1842年,法國數學家E.C.卡塔朗(Catalan)提出一個猜想:8和9是僅有的二個大於1的連續整數,它們都是正整數的乘冪。這一著名的猜想,在很長一段時間內,甚至連「是否有3個連續整數,它們都是正整數的乘冪;以及方程x2=yn十1(n>3,xy≠0)是否有正整數解」都未解決。1962年,柯召以極其精湛的方法解決了這兩個難度很大的問題。他證明了不存在3個連續數都是正整數的乘冪,以及證明了方程x2=yn十1在n>3時無xy≠0的正整數解。這是研究卡塔朗猜想的重大突破。莫德爾的專著《不定方程》(The Diophantine Equations)中把柯召關於方程x2-1=yn的結果稱為柯氏定理。特別是,他在證明這個定理時,提出了計算雅可比(Jacobi)符號 來研究不定方程的方法,這裡 n是奇數,p、q是不同的奇素數。1977年,G.特爾加尼亞(Terjanian)對偶指數費馬大定理第一情形的證明,以及1983年,A.羅特基維奇(Rotkiwicz)在不定方程中所取得的一系列重要結果,都用到柯召的方法和思想。

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