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柯西不等式是一個非常重要的不等式,靈活巧妙的應用它,可以使一些較為困難的問題迎刃而解。可在證明不等式,解三角形相關問題,求函數最值,解方程等問題的方面得到應用。

 

1 柯西不等式 -概述

柯西不等式的證明及應用http://www.docin.com/p-322647321.html
摘要:柯西不等式是一個非常重要的不等式,靈活巧妙的應用它,可以使一些較為困難的問題迎刃而解。本文在證明不等式,解三角形相關問題,求函數最值,解方程等問題的應用方面給出幾個例子。
關鍵詞:柯西不等式    證明    應用  
中圖分類號:  O178                     
Identification and application of Cauchy inequality
Chen  Bo
(department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000)
Abstract:  Cauchy-inequality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make some comparatively difficult problems easily solved . This text prove inequality, solve triangle relevant problem, is it worth most to ask, the application which solves such questions as the equation ,etc. provides several examples.
Keyword:inequation   prove   application

柯西(Cauchy)不等式  
     
等號當且僅當 或 時成立(k為常數, )現將它的證明介紹如下:
證明1:構造二次函數  
=
                 
恆成立


當且僅當   即 時等號成立
證明(2)數學歸納法
(1)當 時     左式=         右式=
顯然      左式=右式
當  時, 右式    右式      
僅當即   即 時等號成立
故 時 不等式成立
(2)假設  時,不等式成立
即  
當  ,k為常數,  或 時等號成立
設     



   

當  ,k為常數,  或 時等號成立
即   時不等式成立
綜合(1)(2)可知不等式成立
柯西不等式是一個非常重要的不等式,靈活巧妙的應用運用它,可以使一些較為困難的問題迎刃而解,這個不等式結構和諧,應用靈活廣泛,利用柯西不等式可處理以下問題:
1)        證明相關命題
例1.        用柯西不等式推導點到直線的距離公式 。
      已知點 及直線      
設點p是直線 上的任意一點, 則
                        (1)
          (2)
點 兩點間的距離 就是點 到直線 的距離,求(2)式有最小值,有


由(1)(2)得:
    即
    (3)
當且僅當   
  (3)式取等號 即點到直線的距離公式



2)        證明不等式
例2  已知正數 滿足   證明   
證明:利用柯西不等式
  
  
     
又因為     在此不等式兩邊同乘以2,再加上 得:


3)        解三角形的相關問題
例3 設 是 內的一點, 是 到三邊 的距離, 是 外接圓的半徑,證明
證明:由柯西不等式得,
  
記 為 的面積,則

  
故不等式成立。
4)        求最值
例4 已知實數  滿足 ,  試求 的最值
解:由柯西不等式得,有


由條件可得,  
解得, 當且僅當  時等號成立,
代入 時,   
     時      
5)利用柯西不等式解方程
例5.在實數集內解方程

解:由柯西不等式,得
       ①
   
   


即不等式①中只有等號成立
從而由柯西不等式中等號成立的條件,得

它與 聯立,可得
            
6)用柯西不等式解釋樣本線性相關係數
在《概率論與數理統計》〉一書中,在線性回歸中,有樣本相關係數 ,並指出 且 越接近於1,相關程度越大, 越接近於0,則相關程度越小。現在可用柯西不等式解釋樣本線性相關係數。
現記 , ,則,
,由柯西不等式有,
當 時,
此時, , 為常數。點    均在直線
上,
當 時,


   
  為常數。
此時,此時, , 為常數
點 均在直線 附近,所以 越接近於1,相關程度越大
當 時, 不具備上述特徵,從而,找不到合適的常數 ,使得點 都在直線 附近。所以, 越接近於0,則相關程度越小。
致謝:在本文的寫作過程中,得到了馬統一老師的精心指導,在此表示衷心的感謝。

參考文獻:   柯西不等式的微小改動    數學通報  2002 第三期
           柯西不等式與排序不等式   南山    湖南教育出版社
  普通高中解析幾何         高等教育出版社
1990-年全國統一考試  數學試卷
李永新  李德祿    中學數學教材教法    東北師大出版社
盛聚,謝式千,潘承毅      概率與數理統計     高等教育出版         
用用柯西不等式解釋樣本線性相關係數     數學通訊 2004年第七期
      

                                                       2004年6月

幾個重要不等式(二)柯西不等式

,當且僅當bi=lai (1£i£n)時取等號

柯西不等式的幾種變形形式

1.設aiÎR,bi>0 (i=1,2,…,n)則,當且僅當bi=lai (1£i£n)時取等號

2.設ai,bi同號且不為零(i=1,2,…,n),則,當且僅當b1=b2=…=bn時取等號

例1.已知a1,a2,a3,…,an,b1,b2,…,bn為正數,求證:

證明:左邊=

例2.對實數a1,a2,…,an,求證:

證明:左邊=

例3.在DABC中,設其各邊長為a,b,c,外接圓半徑為R,求證:



證明:左邊³

例4.設a,b,c為正數,且a+b+c=1,求證:

證明:左邊=

     ³

     =

     =

例5.若n是不小於2的正整數,試證:

證明:



所以求證式等價於

由柯西不等式有



於是:

又由柯西不等式有



<

例6.設x1,x2,…,xn都是正數(n&sup3;2)且,求證:

證明:不等式左端即  (1)

∵,取,則   (2)

由柯西不等式有  (3)



綜合(1)、(2)、(3)、(4)式得:








三、排序不等式

設a1£a2£…£an,b1£b2£…£bn;r1,r2,…,rn是1,2,…,n的任一排列,則有:

a1bn+ a2bn-1+…+ anb1£a1br1+ a2br2+…+ anbrn£ a1b1+ a2b2+…+ anbn

反序和£亂序和£同序和

例1.對a,b,c&Icirc;R+,比較a3+b3+c3與a2b+b2c+c2a的大小

解:取兩組數a,b,c;a2,b2,c2,則有a3+b3+c3&sup3;a2b+b2c+c2a

例2.正實數a1,a2,…,an的任一排列為a1/,a2/,…an/,則有

證明:取兩組數a1,a2,…,an;

其反序和為,原不等式的左邊為亂序和,有

例3.已知a,b,c&Icirc;R+求證:

證明:不妨設a&sup3;b&sup3;c>0,則>0且a12&sup3;b12&sup3;c12>0



例4.設a1,a2,…,an是1,2,…,n的一個排列,求證:



證明:設b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一個排列,且b1<b2<…<bn-1;

c1,c2,…,cn-1是a2,a3,…,an的一個排列,且c1<c2<…<cn-1

則且b1&sup3;1,b2&sup3;2,…,bn-1&sup3;n-1;c1£2,c2£3,…,cn-1£n

利用排序不等式有:



例5.設a,b,c&Icirc;R+,求證:

證明:不妨設a&sup3;b&sup3;c,則,a2&sup3;b2&sup3;c2>0

由排序不等式有:



兩式相加得

又因為:a3&sup3;b3&sup3;c3>0,





兩式相加得

例6.切比雪不等式:若a1£a2£…£an且b1£b2£…£bn,則

a1£a2£…£an且b1&sup3;b2&sup3;…&sup3;bn,則

證明:由排序不等式有:

a1b1+a2b2+…+anbn= a1b1+a2b2+…+anbn

a1b1+a2b2+…+anbn&sup3; a1b2+a2b3+…+anb1

a1b1+a2b2+…+anbn&sup3; a1b3+a2b4+…+anb2

…………………………………………

a1b1+a2b2+…+anbn&sup3; a1bn+a2b1+…+anbn-1

將以上式子相加得:

n(a1b1+a2b2+…+anbn)&sup3; a1(b1+b2+…+bn)+ a2(b1+b2+…+bn)+…+ an(b1+b2+…+bn)



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