1基本信息

證明
作輔助函數F(x)=f(x)-f(b)-[f(a)-f(b)][g(x)-g(b)]/[g(a)-g(b)]
顯然,F(a)=F(b)=0
由羅爾中值定理知:存在ξ∈(a,b),使得F'(ξ)=0.
故F'(ξ)=f'(ξ)-[f(a)-f(b)]g'(ξ)/[g(a)-g(b)]=0,即f'(ξ)/g'(ξ)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]
命題得證。
與拉氏定理的聯繫
在柯西中值定理中,若取g(x)=x時,則其結論形式和拉格朗日中值定理的結論形式相同。
因此,拉格朗日中值定理為柯西中值定理的一個特例;反之,柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推廣。

2應用

中值公式
例3設f(x)在開區間(a,b)內二次可微,證明:任意的x,x0∈(a,b),存在ξ∈(x,x0),使f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+12f″(ξ)(x-x0)2成立(這就是泰勒公式一次展開式).
證明由題可知,只需證明x>x0這一種情況.令
F\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(x_0\right)-f'\left(x\right)\left(x-x_0\right)
G\left(x\right)=12\left(x-x_0\right)^2
求導可得F′(x)=f′(x)-f′(x0),G′(x)=x-x0.
因為F(x0)=G(x0)=0,F′(x0)=G′(x0)=0兩次應用到柯西中值定理,可以得到:
f(x)-f(x0)-f(x0)(x-x0)12(x-x0)2=F(x)G(x)=F(x)-F(x0)G(x)-G(x0)=F′(η)G′(η)=F′(η)-F′(x0)G′(η)-G′(x0)=F″(ξ)G″(ξ)=F″(ξ).
其中η∈(x,x0),ξ∈(x0,η),則f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+12f″(ξ)(x-x0)2得到證明.故命題得證.
函數其它特性
⑴證明中值點的存在性
例4設函數f在區間[a,b]上連續,在(a,b)內可導,則?ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=ξlnbaf′(ξ).
證明設g(x)=lnx,顯然它在[a,b]上與f一起滿足柯西中值定理的條件,於是存在ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)lnb-lna=f′(ξ)1ξ,即存在ξ∈(a,b)使得f(b)-f(a)=ξf′(ξ)lnba.
⑵證明恆等式
例5 證明:
arcsinx+arccosx=\pi^2,x\in\left[0,1\right]
證明令
f\left(x\right)=arcsinx+arccosx
,則
f'\left(x\right)=11-x^2-11-x^2\equiv0,x\in\left(0,1\right)
,由於f(x)在[0,1]連續,所以f(x)≡f(0)=π2.
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