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1簡介

在數學中,一個柯西列是指一個這樣一個序列,它的元素隨著序數的增加而愈發靠近。更確切地說,在去掉有限個元素后,可以使得餘下的元素中任何兩點間的距離的最大值不超過任意給定的正的常數。柯西列是以數學家奧古斯丁·路易·柯西的名字命名的。
柯西列的定義依賴於距離的定義,所以只有在度量空間(metric space)中柯西列才有意義。在更一般的一致空間(uniform space)中,可以定義更為抽象的柯西濾子(Cauchy filter)和柯西網(Cauchy net)。
一個重要性質是,在完備空間(complete space)中,所有的柯西列都有極限,這就讓人們可以在不求出這個極限(如果存在)的情況下,利用柯西列的判別法則證明該極限是存在的。柯西列在構造具有完備性的代數結構的過程中也有重要價值,如構造實數。

2定義

設{xn}是距離空間X中的點列,如果對於任意的ε>0,存在自然數N,當m,n>N時,d(xm,xn)<
ε,稱{xn}是一個Cauchy列。

3部分性質

1.對於在某度量空間內的柯西序列,它的極限不一定在相同的度量空間內。如有理柯西序列可導出無理極限。(事實上,一種實數構造就是用這種方法)
2.任何收斂列必然是柯西列,任何柯西列必然是有界序列。
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