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柯西積分定理

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柯西研究複變函數的積分所得到的基本定理。應用這一定理可導出解析函數的一系列重要性質。

1基本定義

複變函數論的核心定理 。 它討論一個區域D上的複函數在什麼條件下在D上積分與路徑無關 , 最簡單的柯西積分定理的形式為:當D是單連通區域,而f(z)是D上的解析函數時,以下3個互相等價的結論成立 : ① f(z) 在D內沿任意可求長曲線積分與路徑無關。②f( z )在 D內沿任意可求長閉曲線積分為零。③f(z )在D上有原函數。 如果在連續函數類中討論,則以上定理還是可逆的。柯西定理有以下常用的變化的形式 :①D 是由幾條簡單光滑閉曲線圍成的有界區域,記L=D,f(z)在D上解析,在Image:柯西積分定理1.在DUL上連續,則必有

2條件

函數
簡單的說,定義如下:
設C是一條簡單閉曲線,函數f(z)在以C為邊界的有界區域D內解析,那麼有:
f(z)對曲線的閉合積分值為零。
正式的證明
1900年古薩給出了正式的證明)
U是單連通的條件,意味著U沒有「洞」,例如任何一個開圓盤U= {z: |zz0 | <r}都符合條件,這個條件是很重要的,考慮以下路徑
它是一個單位圓,則路徑積分不等於零;這裡不能使用柯西積分定理,因為f(z) = 1/z在z = 0處沒有定義。

3結果

不等於零;這裡不能使用柯西積分定理,因為f(z) = 1/zz= 0處沒有定義。
該定理的一個重要的結果,是在單連通域內全純函數的路徑積分可以用類似於微積分基本定理的方法來計算:設UC的一個單連通開子集,f:UC是一個全純函數,並設γ是U內的一個分段連續可微分的路徑,起點為a,終點為b。如果Ff的一個複數倒數,則
從柯西積分定理可以推導出柯西積分公式和留數定理。
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