標籤: 暫無標籤

楊輝三角形,又稱賈憲三角形,帕斯卡三角形,是二項式係數在三角形中的一種幾何排列。

三角形

1 楊輝三角 -名稱來源

楊輝,字謙光,南宋時期杭州人。在他1261年所著的《詳解九章演算法》一書中,輯錄了如上所示的數表,稱之為「開方作法本源」圖。同時,這也是多項式(a+b)^n 打開括弧后的各個項的二次項係數的規律。 因此,楊輝三角第x層第y項直接就是(y nCr x)。我們也不難得到,第x層的所有項的總和為2^(x-1) (即(a+b)^x中a,b都為1的時候) 。上述y^x 指y的x次方,(a nCr b) 指組合數。   

而這樣一個三角在我們的奧數競賽中也是經常用到,最簡單的就是要找規律。

楊輝三角楊輝三角圖

2 楊輝三角 -簡介

簡單的說,就是兩個未知數和的冪次方運算后的係數問題,比如(x+y)²=x²+2xy+y²,這樣係數就是1,2,1這就是楊輝三角的其中一行,立方,四次方,運算的結果看看各項的係數,你就明白其中的道理了。   

這就是楊輝三角,也叫賈憲三角,在外國被稱為帕斯卡三角。 他於我們現在的學習聯繫最緊密的是2項式乘方展開式的係數規律。如圖,在賈憲三角中,第3行的第三個數恰好對應著兩數和的平方公式(在此就不做說明了)依次下去。

3 楊輝三角 -性質

楊輝三角最本質的特徵是,它的兩條斜邊都是由數字1組成的,而其餘的數則是等於它肩上的兩個數之和。

其實,中國古代數學家在數學的許多重要領域中處於遙遙領先的地位。中國古代數學史曾經有自己光輝燦爛的篇章,而楊輝三角的發現就是十分精彩的一頁。楊輝,字謙光,北宋時期杭州人。在他1261年所著的《詳解九章演算法》一書中,輯錄了如上所示的三角形數表,稱之為「開方作法本源」圖。而這樣一個三角在我們的奧數競賽中也是經常用到,最簡單的就是叫你找規律。現在要求我們用編程的方法輸出這樣的數表。

4 楊輝三角 -規律

這也是多項式(a+b)^n 打開括弧后的各個項的二次項係數的律規  

0 (a+b)^0  (0 nCr 0)

1 (a+b)^1  (1 nCr 0)  (1 nCr 1)

2 (a+b)^2  (2 nCr 0)  (2 nCr 1)  (2 nCr 2)

3 (a+b)^3  (3 nCr 0)  (3 nCr 1)  (3 nCr 2)  (3 nCr 3)

. ...      ...        ...        ...        ...

因此  楊輝三角第x層第y項直接就是  (y nCr x)

我們也不難得到 第x層的所有項的總和 為 2^x  (即(a+b)^x中a,b都為1的時候)

[ 上述y^x 指 y的 x次方;(a nCr b) 指 組合數]

其實,中國古代數學家在數學的許多重要領域中處於遙遙領先的地位。中國古代數學史曾經有自己光輝燦爛的篇章,而楊輝三角的發現就是十分精彩的一頁。

5 楊輝三角 -數字錶示

楊輝三角是一個由數字排列成的三角形數表,一般形式如下: 
1 n=0 
1 1 n=1 
1 2 1 n=2 
1 3 3 1 n=3 
1 4 6 4 1 n=4 
1 5 10 10 5 1 n=5 
1 6 15 20 15 6 1 n=6

6 楊輝三角 -與二項式定理的關係

楊輝三角的第n行就是二項式 展開式的係數列。 
對稱性:楊輝三角中的數字左、右對稱,對稱軸是楊輝三角形底邊上的「高」。 
結構特徵:楊輝三角除斜邊上1以外的各數,都等於它「肩上」的兩數之和。 
這些數排列的形狀像等腰三角形,兩腰上的數都是1。 
從右往左斜著看,從左往右斜著看,和前面的看法一樣,這個數列是左右對稱的。 
上面兩個數之和就是下面的一行的數。 
這行數是第幾行,就是第二個數加一。 

7 楊輝三角 -實際操作運用範例

這是「楊輝三角」的格式對於楊輝三角,很多初中生,甚至很多高中生只知道此三角中的某數等於它上排相鄰兩數之和,而忽視了楊輝三角的實際運用。 
不難發現,除了上述特點外,楊輝三角還有另一個特點: 
  此數列中各行中的數字正好是二項式a+b乘方后,展開始終各項的係數。如: 
  (a+b)^1=a^1+b^1 
  (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 
  (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 
  …… 
  (a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6(注意發現規律) 
  …… 
如此一來,對於普通考試中所出現的高係數運算的展開運算,我們就不必因怕運算出錯而擔憂了。但這只是類似公式的技法,想要運算能力增強,還是一個一個拆著練吧。 
  另外,文章開頭提到的「賈憲三角」和「楊輝三角」是有區別的。只需將楊輝三角順時針旋轉90度,便得到賈憲三角,如下: 
  1 1 1 1 1 1 1 1 
  7 6 5 4 3 2 1 
  21 15 10 6 3 1 
  35 20 10 4 1 
  35 15 5 1 
  21 6 1 
  7 1 
  1 
這些數列,能有效地運用於解數字係數的高次方程。無論是在幾何、代數還是三角函數中,上述方法都能不同程度的提高解題效率。 
[編輯本段]楊輝三角的前50行 
  第 0 行: 
  1 
  第 1 行: 
  1 1 
  第 2 行: 
  1 2 1 
  第 3 行: 
  1 3 3 1 
  第 4 行: 
  1 4 6 4 1 
  第 5 行: 
  1 5 10 10 5 1 
  第 6 行: 
  1 6 15 20 15 6 1 
  第 7 行: 
  1 7 21 35 35 21 7 1 
  第 8 行: 
  1 8 28 56 70 56 28 8 1 
  第 9 行: 
  1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 
  第 10 行: 
  1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 
  第 11 行: 
  1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 
  第 12 行: 
  1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 
  第 13 行: 
  1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1 
  第 14 行: 
  1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1 
  第 15 行: 
  1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1 
  第 16 行: 
  1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1 
  第 17 行: 
  1 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 
  第 18 行: 
  1 18 153 816 3060 8568 18564 31824 43758 48620 43758 31824 18564 8568 3060 816 153 18 1 
  第 19 行: 
  1 19 171 969 3876 11628 27132 50388 75582 92378 92378 75582 50388 27132 11628 3876 969 171 19 1 
  第 20 行: 
  1 20 190 1140 4845 15504 38760 77520 125970 167960 184756 167960 125970 77520 38760 15504 4845 1140 190 20 1 
  第 21 行: 
  1 21 210 1330 5985 20349 54264 116280 203490 293930 352716 352716 293930 203490 116280 54264 20349 5985 1330 210 21 1 
  第 22 行: 
  1 22 231 1540 7315 26334 74613 170544 319770 497420 646646 705432 646646 497420 319770 170544 74613 26334 7315 1540 231 22 1 
  第 23 行: 
  1 23 253 1771 8855 33649 100947 245157 490314 817190 1144066 1352078 1352078 1144066 817190 490314 245157 100947 33649 8855 1771 253 23 1 
  第 24 行: 
  1 24 276 2024 10626 42504 134596 346104 735471 1307504 1961256 2496144 2704156 2496144 1961256 1307504 735471 346104 134596 42504 10626 2024 276 24 1 
  第 25 行: 
  1 25 300 2300 12650 53130 177100 480700 1081575 2042975 3268760 4457400 5200300 5200300 4457400 3268760 2042975 1081575 480700 177100 53130 12650 2300 300 25 1 
  第 26 行: 
  1 26 325 2600 14950 65780 230230 657800 1562275 3124550 5311735 7726160 9657700 10400600 9657700 7726160 5311735 3124550 1562275 657800 230230 65780 14950 2600 325 26 1 
  第 27 行: 
  1 27 351 2925 17550 80730 296010 888030 2220075 4686825 8436285 13037895 17383860 20058300 20058300 17383860 13037895 8436285 4686825 2220075 888030 296010 80730 17550 2925 351 27 1 
  第 28 行: 
  1 28 378 3276 20475 98280 376740 1184040 3108105 6906900 13123110 21474180 30421755 37442160 40116600 37442160 30421755 21474180 13123110 6906900 3108105 1184040 376740 98280 20475 3276 378 28 1 
  第 29 行: 
  1 29 406 3654 23751 118755 475020 1560780 4292145 10015005 20030010 34597290 51895935 67863915 77558760 77558760 67863915 51895935 34597290 20030010 10015005 4292145 1560780 475020 118755 23751 3654 406 29 1 
  第 30 行: 
  1 30 435 4060 27405 142506 593775 2035800 5852925 14307150 30045015 54627300 86493225 119759850 145422675 155117520 145422675 119759850 86493225 54627300 30045015 14307150 5852925 2035800 593775 142506 27405 4060 435 30 1 
  第 31 行: 
  1 31 465 4495 31465 169911 736281 2629575 7888725 20160075 44352165 84672315 141120525 206253075 265182525 300540195 300540195 265182525 206253075 141120525 84672315 44352165 20160075 7888725 2629575 736281 169911 31465 4495 465 31 1 
  第 32 行: 
  1 32 496 4960 35960 201376 906192 3365856 10518300 28048800 64512240 129024480 225792840 347373600 471435600 565722720 601080390 565722720 471435600 347373600 225792840 129024480 64512240 28048800 10518300 3365856 906192 201376 35960 4960 496 32 1 
  第 33 行: 
  1 33 528 5456 40920 237336 1107568 4272048 13884156 38567100 92561040 193536720 354817320 573166440 818809200 1037158320 1166803110 1166803110 1037158320 818809200 573166440 354817320 193536720 92561040 38567100 13884156 4272048 1107568 237336 40920 5456 528 33 1 
  第 34 行: 
  1 34 561 5984 46376 278256 1344904 5379616 18156204 52451256 131128140 286097760 548354040 927983760 1391975640 1855967520 2203961430 2333606220 2203961430 1855967520 1391975640 927983760 548354040 286097760 131128140 52451256 18156204 5379616 1344904 278256 46376 5984 561 34 1 
  第 35 行: 
  1 35 595 6545 52360 324632 1623160 6724520 23535820 70607460 183579396 417225900 834451800 1476337800 2319959400 3247943160 4059928950 4537567650 4537567650 4059928950 3247943160 2319959400 1476337800 834451800 417225900 183579396 70607460 23535820 6724520 1623160 324632 52360 6545 595 35 1 
  第 36 行: 
  1 36 630 7140 58905 376992 1947792 8347680 30260340 94143280 254186856 600805296 1251677700 2310789600 3796297200 5567902560 7307872110 8597496600 9075135300 8597496600 7307872110 5567902560 3796297200 2310789600 1251677700 600805296 254186856 94143280 30260340 8347680 1947792 376992 58905 7140 630 36 1 
  第 37 行: 
  1 37 666 7770 66045 435897 2324784 10295472 38608020 124403620 348330136 854992152 1852482996 3562467300 6107086800 9364199760 12875774670 15905368710 17672631900 17672631900 15905368710 12875774670 9364199760 6107086800 3562467300 1852482996 854992152 348330136 124403620 38608020 10295472 2324784 435897 66045 7770 666 37 1 
  第 38 行:1 38 703 8436 73815 501942 2760681 12620256 48903492 163011640 472733756 1203322288 2707475148 5414950296 9669554100 15471286560 22239974430 28781143380 33578000610 35345263800 33578000610 28781143380 22239974430 15471286560 9669554100 5414950296 2707475148 1203322288 472733756 163011640 48903492 12620256 2760681 501942 73815 8436 703 38 1 
  第 39 行: 
  1 39 741 9139 82251 575757 3262623 15380937 61523748 211915132 635745396 1676056044 3910797436 8122425444 15084504396 25140840660 37711260990 51021117810 62359143990 68923264410 68923264410 62359143990 51021117810 37711260990 25140840660 15084504396 8122425444 3910797436 1676056044 635745396 211915132 61523748 15380937 3262623 575757 82251 9139 741 39 1 
  第 40 行: 
  1 40 780 9880 91390 658008 3838380 18643560 76904685 273438880 847660528 2311801440 5586853480 12033222880 23206929840 40225345056 62852101650 88732378800 113380261800 131282408400 137846528820 131282408400 113380261800 88732378800 62852101650 40225345056 23206929840 12033222880 5586853480 2311801440 847660528 273438880 76904685 18643560 3838380 658008 91390 9880 780 40 1 
  第 41 行: 
  1 41 820 10660 101270 749398 4496388 22481940 95548245 350343565 1121099408 3159461968 7898654920 17620076360 35240152720 63432274896 103077446706 151584480450 202112640600 244662670200 269128937220 269128937220 244662670200 202112640600 151584480450 103077446706 63432274896 35240152720 17620076360 7898654920 3159461968 1121099408 350343565 95548245 22481940 4496388 749398 101270 10660 820 41 1 
  第 42 行: 
  1 42 861 11480 111930 850668 5245786 26978328 118030185 445891810 1471442973 4280561376 11058116888 25518731280 52860229080 98672427616 166509721602 254661927156 353697121050 446775310800 513791607420 538257874440 513791607420 446775310800 353697121050 254661927156 166509721602 98672427616 52860229080 25518731280 11058116888 4280561376 1471442973 445891810 118030185 26978328 5245786 850668 111930 11480 
  861 42 1 
  第 43 行: 
  1 43 903 12341 123410 962598 6096454 32224114 145008513 563921995 1917334783 5752004349 15338678264 36576848168 78378960360 151532656696 265182149218 421171648758 608359048206 800472431850 960566918220 1052049481860 1052049481860 960566918220 800472431850 608359048206 421171648758 265182149218 151532656696 78378960360 36576848168 15338678264 5752004349 1917334783 563921995 145008513 32224114 6096454 962598 123410 12341 903 43 1 
  第 44 行: 
  1 44 946 13244 135751 1086008 7059052 38320568 177232627 708930508 2481256778 7669339132 21090682613 51915526432 114955808528 229911617056 416714805914 686353797976 1029530696964 1408831480056 1761039350070 2012616400080 2104098963720 2012616400080 1761039350070 1408831480056 1029530696964 686353797976 416714805914 229911617056 114955808528 51915526432 21090682613 7669339132 2481256778 708930508 177232627 38320568 7059052 1086008 135751 13244 946 44 1 
  第 45 行: 
  1 45 990 14190 148995 1221759 8145060 45379620 215553195 886163135 3190187286 10150595910 28760021745 73006209045 166871334960 344867425584 646626422970 1103068603890 1715884494940 2438362177020 3169870830126 3773655750150 4116715363800 4116715363800 3773655750150 3169870830126 2438362177020 1715884494940 1103068603890 646626422970 344867425584 166871334960 73006209045 28760021745 10150595910 3190187286 886163135 215553195 45379620 8145060 1221759 148995 14190 990 45 1 
  第 46 行: 
  1 46 1035 15180 163185 1370754 9366819 53524680 260932815 1101716330 4076350421 13340783196 38910617655 101766230790 239877544005 511738760544 991493848554 1749695026860 2818953098830 4154246671960 5608233007146 6943526580276 7890371113950 8233430727600 7890371113950 6943526580276 5608233007146 4154246671960 2818953098830 1749695026860 991493848554 511738760544 239877544005 101766230790 38910617655 13340783196 4076350421 1101716330 260932815 53524680 9366819 1370754 163185 15180 1035 46 1 
  第 47 行: 
  1 47 1081 16215 178365 1533939 10737573 62891499 314457495 1362649145 5178066751 17417133617 52251400851 140676848445 341643774795 751616304549 1503232609098 2741188875414 4568648125690 6973199770790 9762479679106 12551759587422 14833897694226 16123801841550 16123801841550 14833897694226 12551759587422 9762479679106 6973199770790 4568648125690 2741188875414 1503232609098 751616304549 341643774795 140676848445 52251400851 17417133617 5178066751 1362649145 314457495 62891499 10737573 1533939 178365 16215 1081 47 1 
  第 48 行: 
  1 48 1128 17296 194580 1712304 12271512 73629072 377348994 1677106640 6540715896 22595200368 69668534468 192928249296 482320623240 1093260079344 2254848913647 4244421484512 7309837001104 11541847896480 16735679449896 22314239266528 27385657281648 30957699535776 32247603683100 30957699535776 27385657281648 22314239266528 16735679449896 11541847896480 7309837001104 4244421484512 2254848913647 1093260079344 482320623240 192928249296 69668534468 22595200368 6540715896 1677106640 377348994 
  73629072 12271512 1712304 194580 17296 1128 48 1 
  第 49 行: 
  1 49 1176 18424 211876 1906884 13983816 85900584 450978066 2054455634 8217822536 29135916264 92263734836 262596783764 675248872536 1575580702584 3348108992991 6499270398159 11554258485616 18851684897584 28277527346376 39049918716424 49699896548176 58343356817424 63205303218876 63205303218876 58343356817424 49699896548176 39049918716424 28277527346376 18851684897584 11554258485616 6499270398159 3348108992991 1575580702584 675248872536 262596783764 92263734836 29135916264 8217822536 2054455634 450978066 85900584 13983816 1906884 211876 18424 1176 49 1

8 楊輝三角 -歷史發展

北宋人賈憲約1050年首先使用「賈憲三角」進行高次開方運算。   

13世紀中國宋代數學家楊輝在《詳解九章算術》里討論這種形式的數表,並說明此表引自11世紀前半賈憲的《釋鎖算術》,並繪畫了「古法七乘方圖」。故此,楊輝三角又被稱為「賈憲三角」。   

元朝數學家朱世傑在《四元玉鑒》(1303年)擴充了「賈憲三角」成「古法七乘方圖」。   

義大利人稱之為「塔塔利亞三角形」(Triangolo di Tartaglia)以紀念在16世紀發現一元三次方程解的塔塔利亞。   

在歐洲直到1623年以後,法國數學家帕斯卡在13歲時發現了「帕斯卡三角」。   

布萊士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique(1655年)介紹了這個三角形。帕斯卡搜集了幾個關於它的結果,並以此解決一些概率論上的問題,影響面廣泛,Pierre Raymond de Montmort(1708年)和亞伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用帕斯卡來稱呼這個三角形。   

近年來國外也逐漸承認這項成果屬於中國,所以有些書上稱這是「中國三角形」(Chinese triangle)   

歷史上曾經獨立繪製過這種圖表的數學家    

·

9 楊輝三角 -賈憲

 中國北宋 11世紀 《釋鎖算術》

 賈憲最著名的數學成就,是他創製了一幅數字圖式,即「開方作法本源圖」(見下圖)。這幅圖現見於楊輝的書中,但楊輝在引用了這幅圖后特意說明:「賈憲用此術」。所以過去中國數學界把這幅圖稱為「楊輝三角」,實際上是不妥當的,應該稱為「賈憲三角」才最為恰當。由於史書沒有賈憲的傳記,幸虧南宋數學家楊輝在他的書中引述了賈憲的許多數學思想資料,才使我們今天得以了解賈憲在數學上的重大貢獻。 

楊輝三角圖形

·楊輝 中國南宋 1261《詳解九章演算法》記載之功   

·朱世傑 中國元代 1299《四元玉鑒》級數求和公式   

·阿爾·卡西 阿拉伯 1427《算術的鑰匙》   

·阿皮亞納斯 德國 1527   

·施蒂費爾 德國 1544《綜合算術》二項式展開式係數   

·薛貝爾 法國 1545   

·B·帕斯卡 法國 1654《論算術三角形》   

楊輝三角的三個基本性質主要是二項展開式的二項式係數即組合數的性質,它是研究楊輝三角其他規律的基礎。楊輝三角橫行的數字規律主要包括橫行各數之間的大小關係。組合關係以及不同橫行數字之間的聯繫。  

10 楊輝三角 -現實中的應用 

C語言輸出楊輝三角

直角三角形楊輝三角
//c語言,求直角的  
#include<stdio.h>   
#define M 10   
void main()   
{   int a[M][M], i , j ;   for(i=0;i<M;i++)   for(j=0;j<=i;j++)   
{   if(i==j||j==0)   a[i][j]=1;   else   a[i][j]=a[i-1][j]+a[i-1][j-1];   printf("%d ",a[i][j]);   if(i==j)printf("\n");   }   }      
使用數組列印金字塔型楊輝三角   #include<stdio.h>   void main()   
{   int a[10][10],i,j;   for(i=0;i<10;i++)   
{   for(j=10;j>=i;j--)   printf("%2c",' ');"   for(j=0;j<=i;j++)   
{   if(i==j||j==0)   a[i][j]=1;   else   a[i][j]=a[i-1][j]+a[i-1][j-1];   printf("%3d ",a[i][j]); "   if(i==j)   printf("\n");   }   }   }   不用數組輸出金字塔形楊輝三角   #include<stdio.h>   #define N 10   void main()   
{   unsigned int i,j,k;   unsigned int b,c;   for(i=0;i<N;i++)   
{   for(j=N;j>i;j--)   printf(" ");   for(j=0;j<=i;j++)   
{   b=c=1;   if(j>=1)   
{   for(k=i-j+1;k<=i;k++)   b*=k;   for(k=1;k<=j;k++)   c*=k;   }   printf("%4d",b/c);   }   printf("\n");   }   }   
註解:在列印楊輝三角時通常用到楊輝三角的兩個性質。   
第一個就是楊輝三角中除了最外層(不包括楊輝三角底邊)的數為1外,其餘的數都是它肩上兩個數之和。用數組輸出楊輝三角就用這個性質。   
第二個性質是楊輝三角的第n行恰好是C(n,0)~C(n,n)。這裡的C表示組合。不用數組輸出楊輝三角就用這個性質。把楊輝三角的前15行保存在文本文件中 #include<stdio.h>   #include<stdlib.h>   #define M 15   void main()   
{   FILE *out;   if((out=fopen("D:\\text_1.txt","w"))==NULL)   
{   printf("Error!\n");   exit(0);   }   int a[M][M],i,j;   for(i=0;i<M;i++)   for(j=0;j<=i;j++)   
{   if(i==j||j==0)   a[i][j]=1;   else   a[i][j]=a[i-1][j]+a[i-1][j-1];   fprintf(out,"%5d",a[j]);   if(i==j)   fputc('\n',out);   }   fclose(out);   }   用二維數組輸出前十行:   #include <stdio.h>   int main ()   
{   int a[10][10],i,j;   for(i=0;i<10;i++)   
{   a[i][i]=1;   a[i][0]=1;   }   for (i=2;i<10;i++)   for (j=1;j<=i-1;j++)   a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j];   for(i=0;i<10;i++)   
{   for (j=0;j<=i;j++)   printf("%6d",a[i][j]);   printf("\n");   }   printf("\n");   return 0;   }

VB輸出楊輝三角

Private Sub Form_click()   n = Val(Text1.Text)   
REDIM a(n + 1, n + 1), b(n + 1, n + 1)   Cls   k = 8   For i = 1 To n   Print String((n - i) * k / 2 + 1, " ");   For j = 1 To i   a(i, 1) = 1   a(i, i) = 1   a(i + 1, j + 1) = a(i, j) + a(i, j + 1)   b(i, j) = Trim(Str(a(i, j)))   Print b(i, j); String(k - Len(b(i, j)), " ");   
Next j   Print   Next i   End Sub   創建一個text和command,在text中輸入所需行數,點擊command即可。一個數在楊輝三角出現的次數 由1開始,正整數在楊輝三角形出現的次數為∞:1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... (OEIS:A003016)。
最小而又大於1的數在賈憲三角形至少出現n次的數為2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... (OEIS:A062527)   除了1之外,所有正整數都出現有限次。   只有2出現剛好一次。   6,20,70等出現三次。   出現兩次和四次的數很多。   還未能找到出現剛好五次的數。   120,210,1540等出現剛好六次。(OEIS:A098565) 

 

JAVA輸出楊輝三角

 代碼:

import java.util.Scanner;
public class TriangleYH {
public static void main (String[] args) {
Scanner suin = new Scanner(System.in);
System.out.println("請輸入一個大於3的數:");
int n = suin.nextInt() + 1; //這裡如果不+1,那麼輸出的結果少了一行,+1則全部輸出。
int yh[][] = new int[n][n];
if (n < 3) System.out.println("輸入錯誤");
for (int i = 1; i < n; i++) {
yh[i][0] = 1; //始終輸出第一行和最後一行的1.
for (int j = 1; j < i; j++) {
yh[i][j] = yh[i-1][j-1] + yh[i-1][j]; //計算其它行的數字,並存入數組。
}
}
for (int k = 0; k < n; k++) {
for (int t = 0; t < k; t++) {
System.out.print(yh[k][t] + " ");
}
System.out.println();
}
}
}

結果:

 

楊輝三角結果

 

楊輝三角代碼
上一篇[基本不等式]    下一篇 [棱葉韭]

相關評論

同義詞:暫無同義詞