1概述

極坐標法
極坐標,平面坐標的一種,利用某點到原點的距離和角度來確定這一點位置(定位)。主要用於解決幾何中的曲線方程。在幾何數學及天體物理學中應用廣泛。
不等同於笛卡爾直角坐標系中採用兩個正交軸的垂直投影進行定位(x,y),極坐標沒有X、Y軸,,坐標中某點表示為 D<DEGREE(即距離<角度),這裡角度方向,以水平線為0°或360°(即時鐘的3:00時針方向),逆時針方向為正方向。如100<-30,即在順時針30°(時鐘的4點時針方向),距離原點100個單位的點。

2幾何意義

用極坐標解決幾何問題的方法。在直角坐標系中(x,y),x被ρcosθ代替,y被ρsinθ代替,ρ=(x^2+y^2)^0.5,從而得到新的方程。這樣的方程常常用來解決曲線問題,如橢圓曲線、紐線、螺線等等,可以使解題更加清晰簡便。
設曲線C的極坐標方程為r=r(θ)
則C的參數方程為{ x=r(θ)cosθ
y=r(θ)sinθ
其中θ為極角。
由參數方程求導法,得曲線C的切線對x軸的斜率為
極坐標法
yˊ=rˊ(θ)sinθ+r(θ)cosθ∕rˊ(θ)cosθ-r(θ)sinθ=rˊtanθ+r∕rˊ-rtanθ
設曲線C在點M(r,θ)處的極半徑OM與切線MT間的夾角為Ψ,則Ψ=α-θ(如圖)
故有tanΨ=tan(α-θ)=yˊ-tanθ∕1+tanθ
代入,化簡得tanΨ=r(θ)∕rˊ(θ)
這一重要公式表明:在極坐標系下,曲線的極半徑r(θ)與其導數rˊ(θ)之比等於極半徑與曲線切線之夾角的正切。

3方程

用極坐標系描述的曲線方程稱作極坐標方程,通常表示為r為自變數θ的函數。
極坐標方程經常會表現出不同的對稱形式,如果r(−θ) = r(θ),則曲線關於極點(0°/180°)對稱,如果r(π-θ) = r(θ),則曲線關於極點(90°/270°)對稱,如果r(θ−α) = r(θ),則曲線相當於從極點逆時針方向旋轉α°。
直線
經過極點的射線由如下方程表示 :
θ = φ,
其中φ為射線的傾斜角度,若 m為直角坐標系的射線的斜率,則有φ = arctan m。 任何不經過極點的直線都會與某條射線垂直。 這些在點(r0, φ)處的直線與射線θ = φ 垂直,其方程為r(θ) = r_0*sec(θ - φ)。
阿基米德螺線
右圖為方程 r(θ)
一條阿基米德螺線

  一條阿基米德螺線

= θ for 0 < θ < 6π的一條阿基米德螺線。
阿基米德螺線在極坐標里使用以下方程表示:r(θ) = a+bθ,
改變參數a將改變螺線形狀,b控制螺線間距離,通常其為常量。阿基米德螺線有兩條螺線,一條θ > 0,另一條θ < 0。兩條螺線在極點處平滑地連接。把其中一條翻轉 90°/270°得到其鏡像,就是另一條螺線。
其他曲線
由於坐標系統是基於圓環的,所以許多有關曲線的方程,極坐標要比直角坐標系(笛卡爾形式)簡單得多。比如雙紐線,心臟線。

4應用

極坐標法測定界址點
極坐標法
已知點A上安置在經緯儀等儀器,后視另一已知點B定向,然後觀測至各界址點的方向,從而可算得各方向與后視方向的夾角&szlig;,用測距儀測量測站點至各界址點的距離D。
圖2極坐標法測定界址點
採用極坐標法測量時,界址點坐標可按下式計算:
其中:Xi 、Yi——待測界址點坐標
XA、YA——測站點已知坐標
D——測站點至待測界址點距離
α0——已知方位角
βi——觀測角

5其它簡介

直角坐標
互相垂直,並且有公共原點的數軸。其中橫軸為X軸,縱軸為Y軸。這樣我們就說在平面上建立了平面直角坐標系,簡稱直角坐標系
球坐標是三維坐標系的一種,用以確定三維空間中點、線、面以及體的位置,它以坐標原點為參考點,由方位角、仰角和距離構成。
柱坐標系
柱坐標系中的三個坐標變數是 r、φ、z。與直角坐標系相同,柱坐標系中也有一個z變數。各變數的變化範圍是:
r∈[0,+∞),  φ∈[0, 2π],  z∈R  其中 x=rcosφ  y=rsinφ  z=z

相關評論

同義詞:暫無同義詞