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極限,數學的一個重要概念。在數學中,如果某個變化的量無限地逼近於一個確定的數值,那麼該定值就叫做變化的量的極限。

1 極限 -概念

 
極限極限
 極限概念更精確地表述為:如果序列x1,x2,...xn,...,當n無窮大時,趨向於某個確定的數值a,則稱數a為該序列的極限。記作

極限

2 極限 -歷史

極限思想在古希臘的窮竭法和中國古代的割圓術中已經萌芽。在牛頓的微積分中也含有極限思想。但是,直到19世紀初,人們對極限的理解還沒有擺脫幾何直觀。只是到了1821年,法國 數學家 A.L.柯西才把極限概念建立在算術的基礎上。他把極限定義為:若變數的一串數值無限地趨向某一定值時,其差可以隨意地小,則該定值稱為這一串數值的極限。19世紀70年代,德國的K.魏爾施特拉斯等人在數學分析的算術化過程中,進一步用"ε-N"語言更精確地把極限概念表述為:如果序列x1,x2,...xn,... 對於任意給定的無論怎樣小的正數ε,總存在一個正整數 N,使得當n>N時,不等式ㄧxn-aㄧ<ε 恆成立,則稱數a為該序列的極限。
極限概念體現了有限與無限的對立統一關係。序列x1x2,...xn,...是由無限多個有限值組成的,並且在收斂的條件下,存在著有限的極限值。這說明了無限包含著有限,並且在一定條件下,可以向有限轉化;另一方面,有限又包含著無限,在一定條件下,可以轉化為無限,並通過無限表現自身。這一點在函數f(x)的級數展開式

極限

中得到充分體現。正是有了這一公式,我們才能研究複雜函數的變化情況,以及求無理數的近似值。例如,求自然對數的底 e的近似值,就可以利用它的級數展開式

極限

求得。這表明極限概念具有重要的方法論意義。

3 極限 -數列極限

數列的定義

一個定義在正整數集合上的函數yn=f(n)(稱為整標函數),當自變數n按正整數1,2,3…依次增大的順序取值時,函數值按相應的順序排成一串數:f(1),f(2),f(3),…,f(n),…稱為一個無窮數列,簡稱數列。數列中的每一個數稱為數列的項,f(n)稱為數列的一般項。

數列的極限

如果對於任意給定的正數c,總存在一個正整數N,當n>N時,∣yn-A∣

極限極限

此定義中的正數c只有任意給定,不等式

極限極限
才能表達出xn與a無限接近的意思。且定義中的正整數N與任意給定的正數c是有關的,它是隨著c的給定而選定的。

4 極限 -函數極限

函數的極值有兩種情況:a):自變數無限增大;b):自變數無限接近某一定點x0,如果在這時,函數值無限接近於某一常數A,就叫做函數存在極值。

a):自變數趨向無窮大時函數的極限

設函數y=f(x),若對於任意給定的正數ε(不論其多麼小),總存在著正數X,使得對於適合不等式

極限極限
的一切x,所對應的函數值f(x)都滿足不等式
極限極限
那麼常數A就叫做函數y=f(x)當x→∞時的極限,記作:
極限極限

b):自變數趨向有限值時函數的極限
設函數f(x)在某點x0的某個去心鄰域內有定義,且存在數A,如果對任意給定的ε(不論其多麼小),總存在正數δ,當0<

極限極限
<δ時,
極限極限
<ε則稱函數f(x)當x→x0時存在極限,且極限為A,記:
極限極限


5 極限 -變數極限

如果對於任意給定的正數C在變數Y變化過程中,總有那麼一個時刻,在那個時刻以後,

極限極限
恆成立,則稱變數y變化過程中以常數A極限,記作
極限極限

如果在某一變化過程中,變數Y有極限,則變數Y是(局部)有界變數。

極限極限

 

6 極限 -無窮大量

已知函數

極限極限
,當x→0時,可知
極限極限
,我們把這種情況稱為
極限極限
趨向無窮大。為此我們可定義如下:
   設有函數y=
極限極限
,在x=x0的去心鄰域內有定義,對於任意給定的正數N(一個任意大的數),總可找到正數δ,當
極限極限
時,
極限極限
成立,則稱函數當
極限極限
時為無窮大量。記為:
極限極限
(表示為無窮大量,實際它是沒有極限的)。

7 極限 -無窮小量

以零為極限的變數稱為無窮小量。

定義:設有函數

極限極限
對於任意給定的正數C不論它多麼小),總存在正數N(或正數M),使得對於適合不等式
極限極限
極限極限
的一切x,所對應的函數值滿足不等式
極限極限
,則稱函數
極限極限
極限極限
(或x→∞)時 為無窮小量。記作:
極限極限
極限極限

無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量,不是常量,只有0可作為無窮小量的唯一常量。
無窮大量與無窮小量的區別是:前者無界,後者有界,前者發散,後者收斂於0。
無窮大量與無窮小量是互為倒數關係的。

8 極限 -參考資料

《微積分》

《經濟應用數學》

《高等數學查閱手冊》


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