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所謂構造性的方法就是數學中的概念和方法按固定的方式經有限個步驟能夠定義的概念和能夠實現的方法。從數學產生那天起,數學中的構造性的方法也就伴隨著產生了。但是構造性方法這個術語的提出,以至把這個方法推向極端,並致力於這個方法的研究,是與數學基礎的直覺派有關。直覺派出於對數學的「可信性」的考慮,提出一個著名的口號:「存在必須是被構造。」這就是構造主義。

1歷史

演算法數學階段
「發現集合論悖論以後,有些數學家認定了解決這些悖論引起的問題的唯一徹底的方法就是把所有的一般集合論概念都從數學中排除掉,只限於研究那些可以能行地定義或構造的對象」這就是布勞威創立直覺數學的想法。為此,他拋棄了許多通常的數學術語,引進了各種超數學原理,從而使得直覺數學難以為人讀懂。同時直覺數學絕對排斥非構造性數學和傳統邏輯的錯誤做法,無法解釋後者在一定範圍內的應用上的有效性。在這一點上,遭到了絕大多數數學家的反對。所以「對數學家來說,布勞威理論一直是稀奇的古董,而主要為邏輯家們感興趣」。因而產生了另外幾種構造性傾向,不象直覺數學那麼走極端,它們的方案是把可容許數學對象的範圍限制到某個多少是任意選定的類,而不象直覺數學那樣去向傳統的證明規則挑戰。其中以馬爾科夫及其合作者創立的「演算法數學」,尤為引人注目。演算法數學是一種把數學的一切概念都歸約為一個基本概念——演算法的構造性方法。它以遞歸函數理論為基礎,因此,它的概念有非常嚴格的定義:每個函數都用它的哥德爾數的辦法來處理,每個實數是一個特定的遞歸函數等等。它所用的方法是標準構造性的,所採納的邏輯是直覺派邏輯。可見,馬爾科夫的理論是一種不僅限制對象的類,而且限制可容許證明方法的類的「嚴格有窮主義」的理論,沙寧繼續了馬爾科夫的工作,研究了各種古典理論在馬爾科夫演算法數學中的模擬物。他甚至能夠展述分析中象希爾伯特空間和勒貝格積分的構造性理論。由於馬爾科夫的工作,使構造性方法進入了「演算法數學」階段。但是,因為這種構造法依賴於遞歸函數理論的術語,所以使這種演算法數學外行人讀起來十分困難,加之馬爾科夫的後繼者們似乎對於複雜理論及其在計算機科學上的應用比對於演算法數學實踐本身更有興趣,使之演算法數學由於缺乏合適的框架來進行數學實踐,而處於一種冬眠的狀態。
等比數列的構造
遇到a(n)=M*a(n-1)+C(C為常數)時,可以構造等比數列
如:a1=1,a(n+1)=2a(n)+1
可以左右同時加一得:(a(n+1)+1)=2(a(n)+1) 變成等比數列
得 a(n)+1=2^n
從而a(n)=2^n-1
例如,求525,231的最大公約數。
525=231×2+63,
231=63×3+42,
63=42×1+21,
42=21×2。
最後的餘數為21,所以,525,231的最大公約數為21。
求上述兩個數的最大公約數是經過有限個步驟而得到,因此,這是構造性的方法。
再如,求一元二次方程ax2+bx+c=0的根,可用求根公式在有限步驟內求出來。這也是構造性的方法。
現在考慮連續函數的最值定理:閉區間上連續函數有最大(小)值。在數學分析中證明這個定理時,只談這個最值的存在,並沒有給出一能行的過程在有限步驟內把這個最值計算出來,這是非構造性的方法。
圖是一些頂點和一些線段的組合,在圖論中給出了確切的定義,這個定義是屬於構造性的。
通過以上幾個例子,可以明顯地看出構造法具有如下兩個基本特徵:
1.對所討論的對象能進行較為直觀的描述;
2.實現的具體性,就是不只是判明某種解的存在性,而且要實現具體求解。

等差數列的構造

對於a(n+1)=M*a(n)+f(n)的形式(f(n)不為常數),可構造等差數列
已知b(n)=3*2^(n-1),b(n)=a(n+1)-2a(n),求an通項公式
整理得a(n+1)=2*an+3*2^(n-1)
兩邊同除2^(n-1)得 a(n+1)/(2^(n-1))=a(n)/(2^(n-2))+3
所以a(n)/(2^(n-2))為等差數列
所以an/(2^(n-2))=a1/(2^(1-2))+3(n-1)
從而表示出an

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