標籤:高等數學正交矩陣

高等數學的一個概念。若向量空間的基是正交向量組,則稱其為向量空間的正交基,若正向向量組的每個向量都是單位向量,則稱其為向量空間的標準正交基。

1名詞釋義

基本定義
若向量空間的基是正交向量組,則稱其為向量空間的正交基,若正向向量組的每個向量都是單位向量,則稱其為向量空間的標準正交基。

2簡單範例

(1). a=(1/4,-1/4,1);b=(2,-2,-1);c=(1,1,0)是R³的一組正交基;
(2). α=(1,0,0);β=(0,1,0);γ=(0,0,1)是R³的一組標準正交基。
n維歐式空間V中,n個向量的正交向量組稱為V的正交基,由單位向量組成的正交基稱為標準正交基。由單位向量構成的並且相互正交的基稱為標準正交基。正交,意為兩向量的內積等於零
注: ① 由正交基的每個向量單位化,可得到一組標準正交基. ② n維歐氏空間V中的一組基為標準正交基。

3存在性

運用佐恩引理和格拉姆-施密特正交化方法,可以證明每個希爾伯特空間都有基,並且有正交基。同一個空間的正交基的基數必然是相同的。當一個希爾伯特空間有可數個元素組成的正交基,就說這個空間是可分的。

4哈默爾基

有前面的定義可以知道,在無窮維空間的情況下,正交基不再是一般線性代數的定義下的基。為了區分,把一般線性代數的定義下的基稱為哈默爾基。
在內積空間的實際應用中,哈默爾基甚少出現,因此提到「基」的概念時,一般指的是正交基。
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