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研究隨機現象數量規律的數學分支。隨機現象是相對於決定性現象而言的。在一定條件下必然發生某一結果的現象稱為決定性現象 。例如在標準大氣壓下 ,純水加熱到100℃時水必然會沸騰等。隨機現象則是指在基本條件不變的情況下,一系列試驗或觀察會得到不同結果的現象。每一次試驗或觀察前,不能肯定會出現哪種結果,呈現出偶然性。例如,擲一硬幣,可能出現正面或反面,在同一工藝條件下生產出的燈泡,其壽命長短參差不齊等等。隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗。隨機試驗的每一可能結果稱為一個基本事件 ,一個或一組基本事件統稱隨機事件 ,或簡稱事件。事件的概率則是衡量該事件發生的可能性的量度。雖然在一次隨機試驗中某個事件的發生是帶有偶然性的,但那些可在相同條件下大量重複的隨機試驗卻往往呈現出明顯的數量規律。例如,連續多次擲一均勻的硬幣,出現正面的頻率隨著投擲次數的增加逐漸趨向於1/2。又如,多次測量一物體的長度,其測量結果的平均值隨著測量次數的增加,逐漸穩定於一常數,並且諸測量值大都落在此常數的附近,其分佈狀況呈現中間多,兩頭少及某程度的對稱性。大數定律及中心極限定理就是描述和論證這些規律的。在實際生活中,人們往往還需要研究某一特定隨機現象的演變情況隨機過程。例如,微小粒子在液體中受周圍分子的隨機碰撞而形成不規則的運動(即布朗運動),這就是隨機過程。隨機過程的統計特性、計算與隨機過程有關的某些事件的概率,特別是研究與隨機過程樣本軌道(即過程的一次實現)有關的問題,是現代概率論的主要課題。概率論與實際生活有著密切的聯繫,它在自然科學、技術科學、社會科學、軍事和工農業生產中都有廣泛的應用。
概率論的起源與賭博問題有關。16世紀,義大利的學者開始研究擲骰子等賭博中的一些簡單問題。17世紀中葉,法國數學家B.帕斯卡、P.de費馬及荷蘭數學家C.惠更斯基於排列組合方法,研究了一些較複雜的賭博問題,他們解決了分賭注問題 、賭徒輸光問題等 。隨著18 、19世紀科學的發展,人們注意到在某些生物、物理和社會現象與機會遊戲之間有某種相似性,從而由機會遊戲起源的概率論被應用到這些領域中;同時這也大大推動了概率論本身的發展。使概率論成為數學的一個分支的奠基人是瑞士數學家J.伯努利,他建立了概率論中第一個極限定理,即伯努利大數定律,闡明了事件的頻率穩定於它的概率。隨後A.de棣莫弗和P.S.拉普拉斯 又導出了第二個基本極限定理(中心極限定理)的原始形式。拉普拉斯在系統總結前人工作的基礎上寫出了《分析的概率理論》,明確給出了概率的古典定義,並在概率論中引入了更有力的分析工具,將概率論推向一個新的發展階段。19世紀末,俄國數學家P.L.切比雪夫、A.A.馬爾可夫、A.M.李亞普諾夫等人用分析方法建立了大數定律及中心極限定理的一般形式,科學地解釋了為什麼實際中遇到的許多隨機變數近似服從正態分佈。20世紀初受物理學的刺激,人們開始研究隨機過程。這方面A.N.柯爾莫哥洛夫、N.維納、A.A.馬爾可夫、A.R辛欽、P.萊維及W.費勒等人作了傑出的貢獻。
如何定義概率,如何把概率論建立在嚴格的邏輯基礎上,是概率理論發展的困難所在,對這一問題的探索一直持續了3個世紀 。20世紀初完成的勒貝格測度與積分理論及隨後發展的抽象測度和積分理論,為概率公理體系的建立奠定了基礎。在這種背景下,蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫1933年在他的《概率論基礎》一書中第一次給出了概率的測度論的定義和一套嚴密的公理體系。他的公理化方法成為現代概率論的基礎,使概率論成為嚴謹的數學分支,對概率論的迅速發展起了積極的作用。
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