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一種圓錐曲線(也有人叫圓錐截線的),即平面上到兩點距離之和為定值的點的集合。

1 橢圓 -簡介

橢圓橢圓是一種圓錐曲線(也有人叫圓錐截線的),現在高中教材上有兩種定義:1:平面上到兩點距離之和為定值的點的集合(該定值大於兩點間距離)(這兩個定點也稱為橢圓的焦點,焦點之間的距離叫做焦距);2:平面上到定點距離與到定直線間距離之比為常數的點的集合(定點不在定直線上,該常數為小於1的正數)(該定點為橢圓的焦點,該直線稱為橢圓的準線)。這兩個定義是等價的

由於平面截圓錐(或圓柱)得到的圖形有可能是橢圓,所以它屬於一種圓錐截線。如圖,有一個圓柱,被截得到一個截面,下面證明它是一個橢圓(用上面的第一定義):

如圖,將兩個半徑與圓柱半徑相等的半球從圓柱兩端相中間擠壓,它們碰到截面的時候停止,那麼會得到兩個公共點,顯然他們是截面與球的切點。設兩點為F1、F2

2 橢圓 -詳細信息

對於截面上任意一點P,過P做圓柱的母線Q1、Q2,與球、圓柱相切的大圓分別交於Q1、Q2

則PF1=PQ1、PF2=PQ2,所以PF1+PF2=Q1Q2

由定義1知:截面是一個橢圓,且以F1、F2為焦點

用同樣的方法,也可以證明圓錐的斜截面(不通過底面)為一個橢圓

高中課本在平面直角坐標系中,用方程描述了橢圓,橢圓的標準方程為:x^2/a^2+y^2/b^2=1

其中a>0,b>0。a、b中較大者為橢圓長半軸長,較短者為短半軸長(橢圓有兩條對稱軸,對稱軸被橢圓所截,有兩條線段,它們分別叫橢圓的長半軸和短半軸)當a>b時,焦點在x軸上,焦距為2*(a^2-b^2)^0.5,準線方程是x=a^2/c和x=-a^2/c

橢圓的面積是πab。橢圓可以看作圓在某方向上的拉伸,它的參數方程是:x=acosθ , y=bsinθ

橢圓有一些光學性質:橢圓的面鏡(以橢圓的長軸為軸,把橢圓轉動180度形成的立體圖形,其外表面全部做成反射面,中空)可以將某個焦點發出的光線全部反射到另一個焦點處;橢圓的透鏡(某些截面為橢圓)有匯聚光線的作用(也叫凸透鏡),老花眼鏡、放大鏡和遠視眼鏡都是這種鏡片(這些光學性質可以通過反證法證明)

關於圓錐截線的某些歷史:圓錐截缐的發現和研究起始於古希臘。 Euclid, Archimedes, Apollonius, Pappus 等幾何學大師都熱衷於圓錐截缐的研究,而且都有專著論述其幾何性質,其中以 Apollonius 所著的八冊《圓錐截缐論》集其大成,可以說是古希臘幾何學一個登峰造極的精擘之作。當時對於這種既簡樸又完美的曲缐的研究,乃是純粹從幾何學的觀點,研討和圓密切相關的這種曲缐;它們的幾何乃是圓的幾何的自然推廣,在當年這是一種純理念的探索,並不寄望也無從預期它們會真的在大自然的基本結構中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世紀之交,Kepler 行星運行三定律的發現才知道行星繞太陽運\行的軌道,乃是一種以太陽為其一焦點的橢圓。Kepler 三定律乃是近代科學開天劈地的重大突破,它不但開創了天文學的新紀元,而且也是牛頓萬有引力定律的根源所在。由此可見,圓錐截缐不單單是幾何學家所愛好的精簡事物,它們也是大自然的基本規律中所自然選用的精要之一。
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