標籤:高等數學

雙周期的亞純函數。它最初是從求橢圓弧長時引導出來的,所以稱為橢圓函數。橢圓函數論可以說是複變函數論在19世紀發展中最光輝的成就之一。

1數學術語

橢圓函數是定義在有限複平面上亞純的雙周期函數。它和橢圓曲線存在密切關係。
橢圓函數
所謂雙周期函數是指具有兩個基本周期的單複變函數 ,即存在ω1,ω2兩個非0複數,而對任意整數n,m,有
f(z+nω1+mω2)=f(z) ,
於是{nω1+mω2|n,m為整數}構成f(z)的全部周期。
在複平面上任取一點a,以a,a+ω1,a+ω1+ω2 ,a+ω2為頂點的平行四邊行的內部 ,再加上兩個相鄰的邊及其交點 ,這樣構成的一個半開的區域稱為
f(z)的一個基本周期平行四邊形,將它平行移動nω1+mω2,當n,m取遍所有整數時,即得一覆蓋整個複平面的周期平行四邊形網,f(z) 在每一個周期平行四邊形中的性質都和它在基本周期平行四邊形中的一樣。
如果複平面上兩個點在平移到同一個基本周期四邊形后重合,我們就把它們粘合成一個點, 經過這樣一系列操作之後,我們就得到複平面粘合后的一個商空間, 即著名的橢圓曲線, 它也是一個虧格1的緊的閉曲面。 於是上面的橢圓函數就直接定義在橢圓曲線上。
在基本周期平行四邊形中,f(z)有以下性質:非常數橢圓函數一定有極點,且極點留數之和必為零 ,因而不可能只有一個一階極點 ,有n個極點的橢圓函數稱為n階橢圓函數 ,它在基本周期平行四邊形內取任一值n次,即對任意複數A,f(z)-A在基本周期平行四邊形內有且僅有n個零點 ,且f(z) 的零點之和與極點之和的差必等於一個周期。

2分類

在以上性質的規範下 ,有兩大類重要的橢圓函數 :
①魏爾斯特拉斯-δ函數 。它表作
f(z)=∑`1/(z-ω)^2,
其中ω=2nω1+2mω2,∑`表n,m取遍全部整數之和 ,但要除去ω=0的情形 。這是一個二階橢圓函數 ,在周期平行四邊形中 ,僅有一個ω是二階極點 ,ω=δ(z)滿足微分方程(ω′)2=4ω3-g2ω-g3,其中g2=60Σ'Image:橢圓函數3.jpgg3=140Σ'Image:橢圓函數4.jpg,由此可見ω=δ(z)是Image:橢圓函數5.jpg的反函數,右邊的積分稱為橢圓積分。
可以證明,所有的橢圓函數都可以用δ(z)函數來表示 ,而每一個橢圓函數都一定滿足一個常係數一階的代數微分方程。
②雅可比橢圓函數。它定義為橢圓積分的反函數 ,記作ω=J(z),J(z)的基本周期平行四邊形是一個矩形 ,其基本周期是4K與2iK′ ,此處Image:橢圓函數7.jpg,Image:橢圓函數8.jpg,其二階極點為iK′,而k是一個實常數。

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