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橢圓周長橢圓周長的積分表達
橢圓周長沒有精確的初等公式,但有非初等的橢圓積分形式的表達及其級數展開式。

  最早由伯努利(那個不記得了)提出,歐拉發展

  對這類問題的討論引出一門數學分支--橢圓積分(變分法),現在仍然方興未艾。

  橢圓周長級數展開式值得一提的是著名的項名達公式,由中國清代數學家項名達(1789-1850)最早提出。

  
橢圓周長橢圓周長級數展開式
以下是幾個比較簡單的近似公式:

  公式一至公式六為一般精度,滿足簡單計算需要;

  公式八為高精度,滿足比較專業一些的計算需要。

  這些公式均符合橢圓的基本規律,當a=b時,L=2

  希望這些公式能夠給中學生們帶來快樂。

  一、 L1 = π·qn/ atan(n)

  (baq=a+bn=((a-b)/a))^2

  這是根據圓周長和割圓術原理推導的,精度一般。

  二、 L2 = π·θ/(π/4)·(a-c+c/sinθ)

  (b→0,c=√(a^2-b^2),θ=acos((a-b)/a)^1.1)

  這是根據兩對扇形組成橢圓得特點推導的,精度一般。

  三、 L3 = π·q(1 + mn)

  (q=a+bm=4/π-1,n=((a-b)/a)^3.3)

  這是根據圓周長公式推導的,精度一般。

  四、 L4 = π·√(2a^2 + 2b^2)·(1 + mn)

  (m=2√(2/π)-1,n=((a-b)/a)^2.05)

  這是根據橢圓a=b時得基本特點推導的,精度一般。

  五、 L5 = √(4ab·π^2 + 15(a-b)^2)·(1 + mn)

  (m=4/√(15)-1 ,n=((a-b)/a)^9 )

  這是根據橢圓a=bc=0時是特點推導的,精度較好。

  六、L6= π√[2(a^2+b^2)] (較近似)

  七 、L7=π[3/2(a+b)-√(ab)] (較精確)

  八、L8 = π·q(1 + 3h/(10 + √(4-3h))·(1 + mn)

  (q=a+bh=((a-b)/(a+b))^2,m=22/7π-1,n=((a-b)/a)^33.697)

  這是根據橢圓標準公式提煉的,精度很高。

  九、一個高精度的橢圓周長初等公式,精確度可由使用者自由控制,點擊圖片查看。
橢圓周長

橢圓周長(弧長)涉及第二類橢圓積分,原函數無法以初等函數的形式表達。在Matlab,maple等數學軟體中可以直接調用第二類橢圓積分函數求得。建議閱讀《特殊函數》,王竹溪,郭敦仁編著;劉式適、劉式達編著版本指明了第二類橢圓積分的幾何意義即為橢圓弧長問題。外文文獻也很多
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