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橢圓型偏微分方程

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橢圓型偏微分方程,簡稱橢圓型方程,一類重要的偏微分方程。早在1900年D.希爾伯特提的著名的23個問題中,就有三個問題是關於橢圓型方程與變分法的。八十多年來,橢圓型方程的研究獲得了豐碩的成果。橢圓型方程在流體力學、彈性力學、電磁學、幾何學和變分法中都有應用。拉普拉斯方程是橢圓型方程最典型的特例。

1方程

elliptictype,partialdifferentialequationof
其典型代表是拉普拉斯方程與泊松方程(稱Δu為拉普拉斯運算元)
Δu=-4πρ(x,y,z)(2)
拉普拉斯方程的二次連續可微解稱為調和函數,方程(1)有形如
的特解,其中S是一個曲面,μ為定義在S上的連續函數,(3)所定出的函數在S之外處滿足(1),非齊次方程(即泊松方程)(2)有重要特解,它是以ρ為密度的體位勢
當ρ在Ω內連續可微時,由(4)所確定的函數u在Ω內滿足(2),在Ω外滿足(1)。應用格林公式得
這說明:調和函數在區域內任何點的值,可由這函數在區域界面上的值以及法線微商來表示。
在單位球上的狄利克雷問題,對球面坐標為(ρ,θ,j)的點有
其中(θ0,j0)是積分的變元,是球面坐標。cosυ是方向(θ,j)和(θ0,j0)交角的餘弦。橢圓型方程的理論已相當完整。
橢圓型偏微分方程,數值方法
Diptic partial differential equation, numerical methods
較高的精度,必須不在逐片線性函數空間中尋求近似 解,而是在逐片二次函數空間中,或更一般地,在逐 片多項式函數空間中去尋求.在這種情況下,對於具 有適當光滑性的解其精度為O(h幾),這裡k是所用多 項式的次數. 除三角形有限元外人們也利用四邊形有限元.然 而,當四邊形的邊不平行於坐標軸時,必須使用等參 數技術,也就是說,開始用一種非退化變換把問題中 的有限元映射到一種標準型上(在目前情況下映射到 邊平行於坐標軸的矩形上),這個變換的逆由標準有 限單元上近似解同樣的函數給出.人們可以利用曲 邊三角形和四邊形(又要用到等參技術).當在有光滑 邊界的域上用高於一階精度的方法求解問題時這是必 要的. 除r卸ePKHH類型的有限元法外,還有另外一種所 謂的非協調有限元方法,在這類方法中不在原來空間 的子空間中尋求解.通常這種方法適用於高於二階的 橢圓型偏微分方程問題. 有限差分法和有限元法導致有稀疏係數矩陣的高 階線性代數方程組;人們可以壓縮這些矩陣中大部分 零元素(見【川,【12】).迄今另一種近似求解橢圓型偏 微分方程邊值問題的方法已經顯著發展起來:邊界元 法([13]). 橢圓型偏微分方程,數值方法L函州允,州目成壓城別白. 閏卿壇刀,倒m州加In州加油;,幾月,uT。,eeKoro Tona ypa。- .e皿e叱.e「e~e MeTo幾u Pe山e妞硯,l 近似確定橢圓型偏微分方程解的一種方法.在對橢 圓型方程提出的各類問題中,邊值問題和帶Q『勿條 件的問題得到了最透徹的研究.後者是不適定的,且 需要特殊的解法([l]).對橢圓型方程比較典型的提 法是邊值問題,並已經提出了很多不同的數值方法求 其近似解(見【2],【31).在計算實踐中網格法是最廣為 傳播的,其中有有限差分法(見差分法(山玉正泊份n止th. 。由),差分格式理論(differenCe schem留,theoryof), 【4」,!5」)和有限元方法(見【6」一【91).雖然這些方法 構造近似解的途徑不同—前者逼近方程和邊界條件 (見微分邊值問題的差分邊值問題逼近(approx止扭tionof a di漩比nt妞boundary耐ue problon bydiffi泊泊份bot川戶 血州稚lue problen犯)),而後者逼近所求解的本身— 然而最終確定近似解的代數方程組常常基於類似的想 法,並在一些情況下完全一致. 有限差分法的本質如下.用離散點(結點)集代 替原問題中自變數連續變化的區域,並稱此離散點集 為網格(顫d);用差分關係逼近出現在微分方程和邊 界條件中的導數;於是微分方程的邊值問題就被一個 代數方程組(一種差分格式(differen沈岌為~))所取 代.如果所得到的差分邊值問題是可解的(可能在足 夠細的網格上)並且如果在充分加細的網格上

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圖書目錄
第一章 基本理論1
第一節 二階偏微分方程的極值原理和上下解方法1
第二節 特徵值問題和特徵值的變分原理3
第三節 Banach空間上的拓撲度理論和不動點指數理論3
第四節 Banach空間上的分歧理論和穩定性理論4
第二章 帶有擴散的兩物質自催化反應模型7
第一節 引言7
第二節 正解的基本性質8
第三節 非常數正解的不存在性13
第四節 常數正解的穩定性14
第五節 發自常數正解處的分歧解的存在性、唯一性及穩定性16
第六節 非常數正解的存在性25
第七節 全局分歧分析30
第三章 帶有非單調反應函數的兩種群食餌-捕食模型35
第一節 引言35
第二節 平凡解與半平凡解的穩定性36
第三節 發自半平凡解處的分歧解的存在性、唯一性及穩定性38
第四節 發自平凡解處的分歧解的存在性、唯一性及穩定性44
第五節 正解的存在性49
第四章 帶有擴散的三種群周期互惠模型61
.第一節 引言61
第二節 正解的存在性63
第三節 正解的先驗估計66
第四節 一類具體的三種群互惠平衡態模型的共存態69
第五章 帶有擴散的三種群周期競爭模型76
第一節 引言76
第二節 正解的先驗估計77
第三節 正解的漸近性81
附錄91
參考文獻92
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