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橢圓曲線是數學中性質極其豐富的一類幾何對象,它深刻聯繫了數學的各個分支,與著名的費馬猜想也有著密切聯繫。橢圓曲線就是平面中光滑的三次曲線---即用三次多項式方程定義的零點集。

1 橢圓曲線 -定義

平面上光滑的三次曲線稱作橢圓曲線.  在一個合適的坐標系下,它的一般方程可寫作

y^2+axy+by=x^3+cx^2+dx+e,

這裡a,b等均為係數.  這樣的方程稱作Weierstrass方程

橢圓曲線是除了直線和圓錐曲線之外,被研究最多的代數曲線。 它具有極其豐富的分析、代數、幾何與數論性質, 將數學中的許多重要分支都聯繫起來。著名的費馬大定理就和橢圓曲線有著密切的聯繫。

註:我們通常允許x,y取複數, 因此這樣的曲線實際上是複數坐標點所描繪的軌跡。但為了形象說明, 通常的圖形仍然以實數坐標來描繪。

橢圓曲線橢圓曲線在實坐標里的圖形

進一步, 我們也可以在其他數域定義橢圓曲線。以下為說明方便, 我們只考慮複數域情形的橢圓曲線。

2 橢圓曲線 -橢圓曲線的標準方程

在合適的坐標變換下,  橢圓曲線可以寫成如下各類形式的標準方程。

(Weierstrass標準型)  y^2=x^3+ax+b

(Legendre形式)  y^2=x(x-1)(x-a)

(Deuring形式)  y^2+axy+y=x^3.

 

3 橢圓曲線 -橢圓曲線的J不變數

考慮Weierstrass標準方程y^2=x^3+ax+b.我們定義

j=4a^3/(4a^3+27b^2)

它稱為橢圓曲線的j不變數.

橢圓曲線的j不變數唯一確定橢圓曲線。  換言之, 如果E,E'是兩條橢圓曲線, 那麼E和E'同構當且僅當它們有相同的j不變數.

4 橢圓曲線 -橢圓曲線的退化情形

橢圓曲線也可以退化成一些非光滑情形:

1. 帶尖點的有理曲線, 比如y^2=x^3.

橢圓曲線尖點曲線在實空間中的圖形

2. 帶結點的有理曲線, 比如y^2=x^3+x^2.

橢圓曲線結點曲線在實空間中的圖形

橢圓曲線帶結點的有理曲線

3. 一條圓錐曲線和一條直線的並集.

4. 三條直線的並集.

5 橢圓曲線 -橢圓曲線的幾何圖形

由於我們考慮的橢圓曲線坐標點(x,y)允許取複數作為分量, 所以它實際上是復二維平面內的圖形.  將x,y分別寫成實部與虛部的形式,復二維平面相當於實數域上的四維空間。

此時, 橢圓曲線方程變成了兩個代數方程的公共零點集--有四個實數變數。 因此橢圓曲線就變成了四維空間中的一個二維圖形。 利用拓撲學或複變函數的方法,我們可以看到, 這樣的圖形就是通常的環面--即虧格1閉曲面。

橢圓曲線環面

因此我們有時也可以說,橢圓曲線就是虧格為1的光滑代數曲線。
  
註: 環面可以通過粘合正方形的兩對對邊得到。

6 橢圓曲線 -橢圓曲線名稱的由來

橢圓曲線所描繪的圖形並非橢圓。 其名稱含「橢圓」二字是因為它和橢圓積分有關。

在人們計算橢圓周的周長時,需要計算一類積分--橢圓積分,這類積分中會涉及到一類函數

y=sqrt(x^3+ax+b)

這裡sqrt是指開根運算。 等式兩邊平方即得橢圓曲線方程。

橢圓積分是不能用初等函數寫出其表達式的。 

7 橢圓曲線 -橢圓曲線的拐點

一條曲線的切線和這條曲線相切的程度可以用如下方式來看: 稍微擾動該切線, 則該線與曲線的原切點變成了若干個相交點,這樣的交點的個數稱作切線與該曲線在切點除的相交數。 相交數也可以理解為將切點看成若干個交點重合在一起。

 切線在切點處的相交數至少是2. 如果該相交數至少是3,我們就說,這個切點是該曲線的拐點。

橢圓曲線上共有9個拐點。 為方便討論, 我們通常將其中一個拐點放到無窮遠處--以下都默認這種情形。

 

8 橢圓曲線 -橢圓曲線的相交性質

(1)  (Bezout定理特例)兩條光滑橢圓曲線相交9個點(切點重複計算, 見上)。

     一條橢圓曲線和一條圓錐曲線相交6個點。

    一條橢圓曲線和一條直線相交3個點。

(2)   (Chaseles定理)如果有第三條光滑橢圓曲線經過兩條光滑橢圓曲線的其中8個交點,那它必定經過第九個點。

註:這是古典代數幾何中的一個重要的結論。歐拉對此問題也有過考慮。 
作為推廣,X.諾特(Noether)曾經得到了更一般的代數曲線交點的類似結論。 這個問題和代數曲面上秩2向量叢的半穩定性有著深刻的內在聯繫。 

(3)  存在12條直線經過橢圓曲線的9個拐點,並且每條直線恰好經過其中三個拐點。

 

註:將橢圓曲線退化情形放到上述各結論中, 我們能到了射影幾何中的許許多多著名定理,比如帕斯卡定理等等。

9 橢圓曲線 -橢圓曲線的加法運算


我們假設點O是橢圓曲線C的拐點, 設P,Q是橢圓曲線上任何兩點. 設L是連接PQ的直線(如果P=Q, 則L就是切線).  L與橢圓曲線C相交第三個點, 記作P*Q. 設H是連接O與P*Q的直線, 那麼H與C相交另一點, 記作P+Q.

橢圓曲線橢圓曲線加法運算(P=Q情形)

橢圓曲線橢圓曲線的加法運算

"+"定義了橢圓曲線上點與點之間的加法運算,。 這一運算滿足群的性質:

(1) 零元: O+P=P+O=P

(2) 結合律: P+(Q+R)=(P+Q)+R

(3) 逆元: 存在唯一的點(-P), 使得P+(-P)=(-P)+P=O.

進一步, 我們有

(4) 交換律: P+Q=Q+P.

這樣, (C,O,+)構成了加法群。 正因為橢圓曲線存在加法群結構,所以它包含了很多重要的數論信息。這是一般的曲線所沒有的特殊性質。

 

註:橢圓曲線和它的雅可比簇是同構的,所以它上面的「加法」結構實際上來自於它的雅可比簇的自然加法結構。

10 橢圓曲線 -橢圓曲線的撓點

在橢圓曲線上, 我們取定拐點后, 如上方法得到一個群結構. 設P是其中一點。 如果P和自身相加若干倍后等於O, 我們就說P是撓點. 假設n是最小的正整數, 使得nP=O(即n個P相加等於零元),  我們稱P是n階撓元.

橢圓曲線上有n^2個n階撓元.  更精確地, 所有n階撓元都可以由兩個n階撓元生成, 即有如下形狀aP+bQ (這裡P,Q是n階撓元, a,b取整數).

橢圓曲線的撓元包含了橢圓曲線大量的重要信息。

 

11 橢圓曲線 -橢圓曲線的有理點

假設橢圓曲線C的Weierstrass定義方程的係數都是有理數。 我們關心橢圓曲線上的所有的有理點構成的集合, 記作C(Q). 所謂有理點就是指(x,y)中的分量x和y都是有理數的點。

(Modell定理) C(Q)是(C,O,+)的子群, 它是有限秩的.  換言之,

C(Q)=Z^r+Z_{tor}

這裡Z^r表示r個整數加法群Z的直和, Z_{tor}指有理撓點構成的子群。

(Mazur定理) Z_{tor}必是以下情形之一:

(1)  Z/nZ, n≤10或n=12,

(2) Z/2Z×Z/2nZ, n≤4.

這裡Z/kZ是指同餘k下的剩餘類加法群.

註: 人們至今尚未研究清楚C(Q)無撓部分的秩r, 它和許多重要的難題與猜想有關,比如著名的BSD猜想。

 

設P,Q是橢圓曲線上的有理點, 那麼很容易看到P+Q也是有理點。這就提供了一個從已知有理點構造出新的有理點的方法。

12 橢圓曲線 -橢圓曲線與數論方程

橢圓曲線的有理點問題與許多數論方程有關。

退化情形與古典數論方程

在退化情形,

(1) 著名的勾股方程X^2+Y^2=Z^2就相當於求單位圓周的有理點。

(2) 著名的佩爾方程X^2-dY^2=1相當求雙曲線上的整點(即坐標分量是整數的點)

(3)著名的二次剩餘問題, 相當於求拋物線上的整點.

因此人們很自然會去尋求橢圓曲線上的有理點和整點。

費馬方程

(1)X^3+Y^3=Z^3, XYZ≠0

是費馬猜想中的一個方程.  該方程由高斯和歐拉分別解決.  費馬利用以下初等變換, 將該方程歸結為橢圓曲線的有理點計算。

x=12Z/(X+Y), y=36(X-Y)/(X+Y)

將上式代入費馬方程即得

y^2=x^3-432

因為此方程已知無非平凡解, 所以這相當於上述有理曲線僅有兩個有理點(12,36)和(12,-36).

(2)X^4+Y^4=Z^4, XYZ≠0

由費馬利用無窮遞降法證明無平凡解。 它也可以通過以下初等變換變成橢圓曲線:

x=2(Y^2+Z^2)/X^2, y=2Y(Y^2+Z^2)/X^3,

代入原方程即得

y^2=x^3-4x.

它僅有(0,0), (2,0),(-2,0)三個有理點.

(3) X^n+Y^n=Z^n, n是素數

假設(X,Y,Z)=(a,b,c)是一組非平凡解。 此時人們構造了橢圓曲線

y^2=x(x+a^n)(x-b^n)

這條橢圓曲線稱作Frey曲線。Ribet 1968年證明該曲線不能是模曲線. 而另一方面Wiles 於1995年證明Taniyama-Shimura猜想, 即任何橢圓曲線都是模曲線,這就等於證明費馬方程無非平凡解。

 

同餘數問題

(同餘數問題)給定正整數n, 是否存在直角三角形, 使得三條邊都是有理數, 並且面積恰好是n? 如果存在這樣的三角形, 就稱n是同餘數. 比如n=1不是同餘數,n=6是同餘數.

這一問題等價於求解正有理數(a,b,c)滿足:

a^2+b^2=c^2, ab/2=n.

x=n(a+c)/b, y=2n^2(a+b)/b^2,

則得

y^2=x^3-n^2x

因此問題就歸結為求上述橢圓曲線的有理點.

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