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橢圓焦點三角形

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1 橢圓焦點三角形 -定義:

  

橢圓焦點三角形橢圓
橢圓的焦點三角形是指

  以橢圓的兩個焦點F1,F2與橢圓上任意一點P為定點組成的三角形。

2 橢圓焦點三角形 -求解

運用公式:

  設P為橢圓上非左,右端點的一點。

  角F1F2P=α F2F1P=β F1PF2=θ

  則有離心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)

  焦點三角形面積S=b^2*tan(θ/2)

證明方法一:

  設F1P=c F2P=b 2a=c+b

  
由射影定理得2c=ccosβ+bcosα

  e=c/a=2c/2a=ccosβ+bcosα / (c+b)

  由
正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/ (sinβ+sinα)=sin(α+β)/ (sinα + sinβ)

  

證明方法二:

  對於焦點△F1PF2,設PF1=m,PF2=n

  則m+n=2a

  
在△F1PF2中,由余弦定理:

  (F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ

  即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)

  所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2

  所以mn=2b^2/(1+cosθ)

  S=(mnsinθ)/2.............(
正弦定理的三角形面積公式)

  =b^2*sinθ/(1+cosθ)

  =b^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]/2[cos(θ/2)]^2

  =b^2*sin(θ/2)/cos(θ/2)

  
=b^2*tan(θ/2)

例題

  F1,F2是橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦點,PQ是過F1的一條弦,求三角形PQF2面積的最大值

  【解】△PQF2面積=△QF1F2面積+△QF1F2面積△QF1F2與△QF1F2底邊均為F1F2=2c,三角形PQF2的面積=三角形PF1F2的面積+三角形QF1F2的面積=1/2 * |y2-y1| * 2c=c*|y2-y1|之後是聯立直線方程與橢圓方程,利用韋達定理表示出|y2-y1|進行分析即可。請你看下面的一個具體例題,會對你有所啟發的。設點F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦點,弦AB過橢圓的右焦點,求三角形F1AB的面積的最大值. 【解】a2=3,b2=2c2=3-2=1c=1所以F1F2=2c=2假設A在x上方,B在下方直線過(1,0)設直線是x-1=m(y-0)x=my+1代入2x2+3y2=6(2m2+3)y2+4my-4=0y1+y2=-4m/(2m2+3),y1y2=-4/(2m2+3)三角形F1AB=三角形F1F2A+F1F2B他們底邊都是F1F2=2則面積和最小就是高的和最小即 |y1|+|y2|因為AB在x軸兩側,所以一正一負所以|y1|+|y2|=|y1-y2|(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=16m2/(2m2+3)2+16/(2m2+3)|y1-y2|=4√[m2+(2m2+3)]/(2m2+3)=4√3*√(m2+1)]/(2m2+3)令√(m2+1)=p2m2+3=2p2+1且p>=1則p/(2p2+1)=1/(2p+1/p)分母是對勾函數所以p=√(1/2)=√2/2時最小這裡p>=1,所以p=1,2p+1/p最小=3此時p/(2p2+1)最大=1/3所以|y1-y2|最大=4√3*1/3所以最大值=2*4√3/3÷2=4√3/3

橢圓的「頂焦點三角形」性質探究

  在橢圓中,我們通常把焦點與過另一個焦點的弦所圍成的三角形叫做焦點三角形,類似地,我們也把頂點與過另一個頂點所對應的焦點弦圍成的三角形叫頂焦點三角形.在橢圓的頂焦點三角形中有許多與橢圓焦點三角形相類似的幾何特徵,蘊涵著橢圓很多幾何性質,在全國各地的高考模擬試卷及高考試題中,都曾出現過以「頂焦點三角形」為載體的問題.本文對橢圓的頂焦點三角形的性質加以歸納與剖析.

  參考文獻

  金美琴.二次曲線的定點弦.《數學通報》2003(7)

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