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歌德巴赫猜想

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歌德巴赫猜想是數學論證中最神奇的一個問題,它隱含了素數分佈中,素數對稱分佈在偶數中心兩邊,其分佈規律的明顯吸引了眾多人關注,素數分佈又具有特重大意義,因此歌德巴赫猜想的解決令人神往。

哥猜下限解的根源-理論公式的各種有用轉換式
哥猜下限解的根源-理論公式的各種有用轉換式
 

1 歌德巴赫猜想 -什麼是歌德巴赫猜想


哥德巴赫是德國一位中學教師,也是一位著名的數學家,生於1690年,1725年當選為俄國彼得堡科學院院士。公元1742年6月7日哥德巴赫寫信給當時的大數學家歐拉,提出了以下的猜想:
(a)任何一個>=6之偶數,都可以表示成兩個奇質數之和。
(b) 任何一個>=9之奇數,都可以表示成三個奇質數之和。
這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在6月30日給他的回信中說,他相信這個猜想是正確的。從哥德巴赫提出這個猜想至今,許多數學家都不斷努力想攻克它,但都沒有成功。當然曾經有人作了些具體的驗證工作,例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等。有人對33×108以內且大過6之偶數一一進行驗算,哥德巴赫猜想(a)都成立。但嚴格的數學證明尚待數學家的努力。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的"明珠"。
1937年蘇聯數學家維諾格拉多夫(и.M.Bиногралов,1891-1983),用他創造的"三角和"方法,證明了"任何大奇數都可表示為三個素數之和"。把命題"每一個大偶數可以表示成為一個素因子個數不超過a個的數與另一個素因子不超過b個的數之和"記作"a+b",那麼哥氏猜想就是要證明"1+1"成立。   1920年,挪威的布朗證明了「9 + 9」。稍後又有眾多數學家深入,先後證明「7 + 7」,「5+7」,「5+5」,「4+9」,「4+4」,「3+4」,「3+3」,「2+3」。1932年,埃斯特曼證明了「1+6」成立。稍後又有眾多數學家深入「1 + 5」,「1 + 4」,「1 + 3 」。    1966年,中國的陳景潤證明了 「1 + 2 」。 1923年,哈代和李特爾伍德提出的「1+1」的數量公式。已知:2∏{(p-1)/(p-2)}∏{1-1/{(p-1)^2}}≥1.32,N/ln^2(N)≥(2.718*2.718)/(2*2)。「1+1」的數量公式等於兩參數的積,公式解大於一。 N/ln^2(N)的數量:2.718^(10^1)/10^2≈10^(4.34)/(2.3*4.34)^2≈10^(4.34-2),2.718^(10^2)/10^4≈10^(43.4)/(2.3*43.4)^2≈10^(43.4-4),...,2.71828^(10^5)/10^10≈10^(43429)/(2.3*43429)^2≈10^(43429-10),公式指數解顯示有「解數的指數大於偶數指數的一半」,即:N≥10^4.34后,公式解數大於偶數平方根數。  

一,尋找哥德巴赫猜想解的方法: 正常篩法:把給定數內的自然數除以不大於其平方根數的各個素數,得到的餘數的種類有對應素數種,去掉餘數為零的數,在給定數內留下的數,都是素數。 2種餘數留1種,3種餘數留2種,5種餘數留4種,..,(素數種)餘數保留(素數減1種)。 數與一連串分數的乘積接近數內的素數個數,算式寫為:N∏{(p-1)/p}=N(1/2) (2/3)(4/5)..(素數-1)/素數。由素數定理知:N數內的素數個數π(N)≈N/LnN,推知:1/LnN≈∏{(p-1)/p}=(1/2)∏{(q-1)/q},后式q是奇素數。 雙篩法:給定偶數除以不大於其平方根數的不能整除偶數的各個小素數,得到對應餘數。如果大素數除以小素數得的餘數與給定偶數除同一小素數得的餘數相同時,偶數減該素數的差數會是合數,將素數中的這種素數去掉,剩下的素數都與偶數中心對稱分佈。滿足「偶數表示為兩素數的和」。不能整除偶數的素數,其(素數種)餘數只保留(素數減2種)。能整除偶數的素數,其(素數種)餘數仍保留(素數減1種)。特定的一種偶數,N=2^n,所有奇素數都不能整除偶數的素數,偶數內的對稱素數的個數的下限解算式為:N(1/2)∏[(q-1)/q]∏[(q-2)/(q-1)]=N(1/2)(1/3)(3/5),..,(奇素數-2)/奇素數。特定偶數可得到波動函數的確切下界。該公式解不包括與平方根數的素數對稱的素數的解,是被強化的下限解。 二,哥德巴赫猜想下限解的計算方法 已知下限解算式:N(1/2)∏[(q-1)/q]∏[(q-2)/(q-1)],1/LnN≈0.5∏[(q-1)/q], 推知:N(1/2)∏{(q-1)/q}∏{(q-2)/(q-1)}=N(2/4)∏[(q-1)/q]∏[(q-1)/q]*∏[q/(q-1)]∏[(q-2)/(q-1)]=2N{(1/2)∏[(q-1)/q](1/2)∏[(q-1)/q]}*∏{[q/(q-1)]*[(q-2)/(q-1)]}=2N∏{q*(q-2)/(q-1)^2}*{0.5∏[(q-1)/q]}^2=2 ∏{[q^2-2q+1-1]/(q-1)^2}*N(1/LnN)^2=2∏[1-1/(q-1)^2]*N/(LnN)^2 得到的2∏[1-1/(q-1)^2]*N/(LnN)^2與數學家求解孿生素數的公式一樣。 公式是一步一步推導來得,不是猜測的公式了。 三,數論學者一直推薦的偶數哥解公式。 設r(N)為將偶數N表示為兩個素數之和的表示法個數,有:r(N)≈2∏[(p-1)/(p-2)]∏[1-1/(P-1)^2]N/(lnN)^2,數學家已求出2∏[(p-1)/(p-2)]∏[1-1/(P-1)^2]≥1.32。N/(LnN)^2={[(√N)/Ln(√N)]^2}/4,因為邊界解可以包容公式解的波動,所以數學家證明出了上限解。下限解也包容公式解的波動,N/(LnN)^2不是近似解,而是確定解。依據素數定理:[(√N)/Ln(√N)]≈π(√N)=偶數的平方根數內素數個數,N/(LnN)^2≈[π(√N)]^2}/4 即:偶數的平方根數內素數個數≥2時,偶數哥猜求解公式等於大於一的數的連乘積,哥解公式的解大於一。 四,容易判斷公式解大於一的算式:方法1:解析數論的哥解公式解轉換為1.32倍還多的{偶數的平方根數內素數個數的平方數}與4的比值。只要偶數≥6,解>1。 方法2.把N/(LnN)^2=e^(2^m)/(2^m)^2=e^(2^m))/(2^(2m))轉換成e^(2^m)/e^((Ln2)*2^m)≈e^(2^m)/e^(1.386^m)或2^(1.442*2^m)/2^(2m),得到分子大於分母,N/(LnN)^2大於1。方法3:{e^(2^m)}/{2^(2m)},分子的底較大,指數也較大,冪自然也大,分數自然大於一。方法4:把N/(LnN)^2=e^(10^m)/(10^m)^2=e^(10^m))/(10^(2m))轉換成10^(((10^m)/Ln10)-2m)≈10^(0.434*10^m-2m),10底冪數的指數等於冪數的常用對數,冪數的整數的位數等於常用對數(入位)取整數。e^(10)/10^2=10^(4.34-2),e^(10^2)/10^4=10^(43.42-4),e^(10^3)/10^6=1.968E+(434-6),e^(10^4)/10^8=8.74E+(4342-8),2.71828^(10^5)/10^10=2.6E+(43429-10),N/(LnN)^2的整數位數跟進N的整數位數。e^(10^m)/(10^m)^2=10^([10^m/Ln10]-2m)。指數等於公比為10的等比數列的通項減去公差為2的等差數列的通項,指數差大於零。自然有冪一定大於一。方法5:y=x/(Lnx)^2函數在直角坐標系中的圖象證明有最低點,x=e^2時,y=e^2/2^2≈7.39/4≈1.85,e^e/(e^2)≈15.15/7.39≈2.05。e^(1.414)/(1.414^2)≈4.113/2≈2.05。不會一直是x越小y越小,而是x小過7.39后,x越小y越大。一般人很難想到。用計算器計算:2.71828^(10^5)/10^10,得到(2.6E+43429)/10^10的值,值為2.6E+(43429-10),給人的啟示。巨大的縮小倍數(10^5)),當數大到需要用科學計數法記錄位數時,變成了很小的E+(-10), 沒有一直巨大的縮小倍數,而是x大過多位數后,變成了位數很小的減少。一般人很難想到,巨大的縮小倍數會變成很小的減(位)數,素數巨大的稀疏沒影響素數的巨量,對稱素數超大的稀疏也沒影響對稱素數的大量。

2 歌德巴赫猜想 -為什麼民間數學家們如此醉心於哥猜,而不關心黎曼猜想之類的更有意義的問題呢?

一個重要的原因就是,黎曼猜想對於沒有學過數學的人來說,想讀明白是什麼意思都很困難。而歌德巴赫猜想對於小學生來說都能讀懂。 數學界普遍認為,這兩個問題的難度不相上下。

歌德巴赫猜想—現狀

        陳景潤證明的偶數哥猜公式內涵了下界大於一 。
命r(N)為將偶數表為兩個素數之和的表示個數,1978年,陳景潤證明了:
r(N)=《7.8∏{(p-1)/(p-2)}∏{1-1/{(p-1)^2}}{N/(LnN)^2}
............P>2,P|N..........P>2.........................
其中:第一個級數,參數的分子大於分母,得值為(大於一的分數)。第二個級數是孿生素數計算
公式的係數,極限值為0.66...。N/(lnN)約為N數包含的素數的個數:其中,(lnN)為N的自然對
數,可轉換為2{ln(√N)}。
由於N/(LnN)^2=(1/4){(√N)/Ln(√N)}^2~(1/4){π(√N)}^2.
(√N)/Ln(√N)~π(√N)~N數的平方根數內素數個數.
陳景潤證明的公式等效於{(大於一的數)·(N數的平方根數內素數個數的平方數/4)},內涵了公式大於1的條件:大於第二個素數的平方數的偶數,偶數哥猜有大於一的解.
      數學家求解「將偶數表為兩個素數之和的表示個數」採用的公式,偶數中,滿足條件的素數的個數趨近於{2乘以[(P-1)/(P-2)的連乘積],乘以[孿生素數計算式中的係數],再乘以[N數與(N數的自然對數的平方數的比值)]}。由(N數的自然對數等於2倍的N數的平方根數的自然對數),可知:四項數的積又大於「2(大於1的分數)(0.66..){(N數的平方根數與N數的平方根數的自然對數的比值)的平方/4}」,它等效於(>1.32的數)(N數的平方根數內素數個數的平方數/4),得到了公式大於1的要求:大於第二個素數的平方數的偶數,偶數哥猜有大於1的解。 
      數學家求解「將奇數表為三個素數之和的表示個數」採用的公式,命T(N)為奇數表為三個素數之和的表示個數, T(N)~(1/2)∏{1-(1/[(P-1)的平方數]}∏{1+1/[(P-1)的立方數]}{(N的平方數)/[(lnN)的立方數]},前一級數參數是P整除N 。后一級數參數是P非整除N, 由 ∏{{1+1/[(P-1)的立方數]}/{1-1/[(P-1)的平方數]}}=∏{1+[1/[(P-1)(P-2)]]},   原式轉換條件,變換為下式:   T(N)~(1/2)∏[1-(1/(P-1)的平方數]∏{1+(1/[(P-2)(P-1)]}{(N的平方數)/[(lnN)的立方數]}    前一級數參數成為全種類,已知趨近值(0.66..),后一級數只增不減。公式等效於   [(0.66..)/2]·(>1的分數)·[(N數與N數的自然對數的比值)(N數的平方根數內素數個數的平方數/4)],   它等效於(>0.33..)(N數內素數個數)(N數的平方根數內素數個數的平方數)/4, 得到了公式大於1的要求。奇數大於9,奇數哥猜公式解>(0.33*4)(2*2/4)>1。 
      數論書上介紹的哥德巴赫猜想求解公式,設r(N)為將偶數N表示為兩個素數之和的表示法個數,有:r(N)≈2∏[(p-1)/(p-2)]∏[1-1/(P-1)^2]N/(lnN)^2,數學家已求出2∏[(p-1)/(p-2)]∏[1-1/(P-1)^2]≥1.32。數論書上介紹的素數個數求解方法,設π(N)為N內素數的個數,有兩種求解公式:π(N)≈N/lnN。π(N)≈N∏[(P-1)/P],知:1/lnN≈∏[(P-1)/P],P參數是不大於N的平方根數的素數,∏[f(P)]表示各個[P參數運算項]的連乘積。N∏[(P-1)/P]=(√N)∏[(P-1)/P](√N)=(√N){(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)(10/11)...[(P`-1)/P`][√N/1]}=(√N){(2/2)(4/3)(6/5)(6/7)...[(√N)/P`]},得到的解大於√N。由於:(√N)∏[(P-1)/P]=(√N){(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)(10/11)...[(P`-1)/P`]}={(2/2)(4/3)(6/5)(6/7)...[(√N)/P`]},得到的解大於一。於是就確定了:N/(lnN)^2≈{(√N)∏[(P-1)/P]}的平方數,得到的解是比(大於一的數)還大的數。數論書上介紹的哥德巴赫猜想求解公式的解是比(大於一的數)還大的數。(公式(√N)∏[(P-1)/P]中的P的取值不是求N平方根數內的素數個數公式的p的取值,兩公式差一個係數。)

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