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歐幾里得幾何學

標籤:歐幾里得

歐幾里得幾何學簡稱歐氏幾何,主要是以歐幾里得平行公理為基礎的幾何學。它的創始人是古代希臘的偉大數學家歐幾里得。

1簡介

最早提出的著作
19世紀末期,德國數學家希爾伯特於1899年發表了著名的著作《幾何基礎》,書中提出了一個歐幾里得幾何的完整的公理體系.從此人們將滿足希爾伯特公理系統中的結合公理、順序公理、合同公理、平行公理、連續公理等五組公理以及由其導出的一切推論組成的幾何學叫做歐幾里得幾何學.特別指出的是,平行公理在歐幾里得幾何中有著很重要的作用.凡與平行公理有關的命題,都是歐幾里得幾何學的結論.如三角形三條高線共點;過不共線的三點恆有一圓;任何三角形三內角之和等於180°;存在相似形;勾股定理成立.中等學校數學中的三角函數理論、平面解析幾何的基礎理論,都是建立在歐幾里得幾何學的理論基礎上的。
早期幾何知識
約公元前300年,古希臘數學家歐幾里得集前人之大成,總結了人們在生產、生活實踐中獲得的大量的幾何知識,規定了少數幾個原始假定為公理、公設,並定義了一些名詞概念,通過邏輯推理,得到一系列的幾何命題,形成了歐幾里得幾何學,簡稱歐氏幾何。
介紹
歐幾里得的《幾何原本》共有23個定義,5條公設,5條公理,他力圖把幾何學建立在這些原始的定義、公理和公設的基礎上,然後以這些顯然的假設為依據推證出體系里的一切定理。由於歐幾里得所處的時代是人類文明的初期,受時代的局限,《原本》的邏輯系統不可能完美無缺,在許多地方出現了漏洞。例如:常常使用未經定義過的概念來解釋一個新的概念;用了既不是公理,又不是公設,也沒有證明過的結論作為論證命題的依據;等等。正因為如此,在《原本》問世后2000年中,一方面《原本》作為用邏輯來敘述科學的典範,對數學其他分支甚至整個科學發展起著深遠的影響;另一方面,對於《原本》在邏輯上的欠缺進行修改、補充和研究工作從未停止過,對於《原本》中的定義、公理、公設的研究成了歷代數學家的重要課題。尤其對於《原本》中的第五公設,許多數學家對它產生了懷疑,最終導致非歐幾何的創建(見非歐幾里得幾何學)。
19世紀末,德國數學家D.希爾伯特第一次給出了完備的歐幾里得幾何公理系統。
意義
《幾何原本》的重要性並不在於書中提出的哪一條定理。書中提出的幾乎所有的定理在歐幾里德之前就已經為人知曉,使用的許多證明亦是如此。歐幾里得的偉大貢獻在於他將這些材料做了整理,並在書中作了全面的系統闡述。這包括首次對公理和公設作了適當的選擇(這是非常困難的工作,需要超乎尋常的判斷力和洞察力)。然後,他仔細地將這些定理做了安排,使每一個定理與以前的定理在邏輯上前後一致。在需要的地方,他對缺少的步驟和木足的證明也作了補充。值得一提的是,《幾何原本》雖然基本上是平面和立體幾何的發展,也包括大量代數和數論的內容。    《幾何原本》作為教科書使用了兩千多年。在形成文字的教科書之中,無疑它是最成功的。歐幾里得的傑出工作,使以前類似的東西黯然失色。該書問世之後,很快取代了以前的幾何教科書,而後者也就很快在人們的記憶中消失了。《幾何原本》是用希臘文寫成的,後來被翻譯成多種文字。它首版於1482年,即谷登堡發明活字印刷術30多年之後。自那時以來,《幾何原本》已經出版了上千種不同版本。
在訓練人的邏輯推理思維方面,《幾何原本》比亞里土多德的任何一本有關邏輯的著作影響都大得多。在完整的演繹推理結構方面,這是一個十分傑出的典範。正因為如此,自本書問世以來,思想家們為之而傾倒。
公正地說,歐幾里得的這本著作是現代科學產生的一個主要因素。科學絕不僅僅是把經過細心觀察的東西和小心概括出來的東西收集在一起而已。科學上的偉大成就,就其原因而言,一方面是將經驗同試驗進行結合;另一方面,需要細心的分析和演繹推理。
我們不清楚為什麼科學產生在歐洲而不是在中國或日本。但可以肯定地說,這並非偶然。毫無疑問,像牛頓、伽利略、哥白尼和開普勒這樣的卓越人物所起的作用是極為重要的。也許一些基本的原因,可以解釋為什麼這些出類拔革的人物都出現在歐洲,而不是東方。或許,使歐洲人易於理解科學的一個明顯的歷史因素,是希臘的理性主義以及從希臘人那裡流傳下來的數學知識。
對於歐洲人來講,只要有了幾個基本的物理原理,其他都可以由此推演而來的想法似乎是很自然的事。因為在他們之前有歐里得作為典範(總的來講,歐洲人不把歐幾里得的幾何學僅僅看作是抽象的體系;他們認為歐幾里得的公設,以及由此而來的定理都是建立在客觀現實之上的)。
上面提到的所有人物都接受了歐幾里得的傳統。他們的確都認真地學習過歐幾里得的《幾何原本》,並使之成為他們數學知識的基礎。歐幾里得對牛頓的影響尤為明顯。牛頓的《數學原理》一書,就是按照類似於《幾何原本》的「幾何學」的形式寫成的。自那以後,許多西方的科學家都效仿歐幾里得,說明他們的結論是如何從最初的幾個假設邏輯地推導出來的。許多數學家,像伯莎德·羅素、阿爾弗雷德·懷特海,以及一些哲學家,如斯賓諾莎也都如此。同中國進行比較,情況尤為令人矚目。多少個世紀以來,中國在技術方面一直領先於歐洲。但是從來沒有出現一個可以同歐幾里得對應的中國數學家。其結果是,中國從未擁有過歐洲人那樣的數學理論體系(中國人對實際的幾何知識理解得不錯,但他們的幾何知識從未被提高到演繹體系的高度)。直到1600年,歐幾里得才被介紹到中國來。此後,又用了幾個世紀的時間,他的演繹幾何體系才在受過教育的中國人之中普遍知曉。在這之前,中國人並沒有從事實質性的科學工作。
在日本,情況也是如此。直到18世紀,日本人才知道歐幾里得的著作,並且用了很多年才理解了該書的主要思想。儘管今天日本有許多著名的科學家,但在歐幾里得之前卻沒有一個。人們不禁會問,如果沒歐幾里得的奠基性工作,科學會在歐洲產產嗎?
如今,數學家們已經記識到,歐幾里得的幾何學並不是能夠設計出來的惟一的一種內在統一的幾何體系。在過去的150年間,人們已經創立出許多非歐幾里得幾何體系。自從愛因斯坦的廣義相對論被接受以來,人們的確已經認識到,在實際的宇宙之中,歐幾里得的幾何學並非總是正確的。便如,在黑洞和中子星的周圍,引力場極為強烈。在這種情況下,歐幾里得的幾何學無法準確地描述宇宙的情況。但是,這些情況是相當特殊的。在大多數情況下,歐幾里得的幾何學可以給出十分近似於現實世界的結論。
不管怎樣,人類知識的這些最新進展都不會水削弱歐向里得學術成就的光芒。也不會因此貶低他在數學發展和建立現代科學成長必不可少的邏輯框架方面的歷史重要性。

缺點

歐幾里得的《幾何原本》,雖然在教育和科學意義上,在歷史上受到很高的評價,但用現在的科學水平衡量,它的幾何邏輯結構在嚴謹性上還存在很多缺點。首先,歐幾里得的定義並不能成為一種數學定義,有的不過是幾何對象點、線、面的一種直觀描述,有的含混不清,這些定義在後面的論證中,實際上是無用的。其次,歐幾里得的公設和公理,是遠不夠用的,因而在《幾何原本》的許多命題的論證中,不得不藉助直觀,或者或明或暗地引用了用他的公設和公理無法證明的事實。特別要指出的是研究《幾何原本》的許多學者都注意到歐幾里得的第五公設比較複雜,看來很象定理。歐幾里得之後的兩千年很多學者都試圖用其他公設和公理加以證明,但都失敗。直到19世紀,C.F.高斯、H.И.羅巴切夫斯基、J.波爾約、(G.F.)B.黎曼等發現了非歐幾何,才了解到歐幾里得第五公設不是其餘公設和公理的推論,不能用那些公設和公理來證明,而是一個獨立的命題。
在歐幾里得幾何體系中,第五公設和「在平面內過已知直線外一點,只有一條直線與已知直線平行」相等價,現在把后一命題稱作歐幾里得平行公理。它體現了「歐幾里得幾何」與「非歐幾里得幾何」的區別。
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