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歐幾里得整環

標籤:交換代數

在抽象代數中,歐幾里得整環(Euclidean domain)是一種能作輾轉相除法的整環。凡歐幾里得整環必為主理想環。

1定義

一個歐幾里得整環是一整環D 及函數 ,使之滿足下述性質:
若  而 ,則存在  使得 a=bq+r,而且或者r = 0,或者 v(r) < v(b)。 若 a整除b,則 。 函數 v可設想成元素大小的量度,當  時可取v(x): = | x | 。

2例子

歐幾理得整環的例子包括了:
整數環 ,v(x) = | x | 。 高斯整數環 。 域上的多項式環(v(f) = degf)與冪級數環(v(f) 定義為使 X|f(X) 的最大非負整數 n)。 離散賦值環,v(x) 定義為使  的最大非負整數 n,其中  表該離散賦值環的唯一極大理想。 利用輾轉相除法(定義中的第一條性質),可以證明歐幾里得環必為主理想環,此時理想由其中 v-值最小的元素生成。由此得到一個推論:歐幾里得整環必為唯一分解環。
並非所有主理想環都是歐幾里得整環,Motzkin 證明了  的整數環在 d = − 19, − 43, − 67, − 163 時並非歐幾里得整環,卻仍是主理想環。這方面的進一步結果詳見以下文獻。
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