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歐幾里德空間

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歐氏空間是一個特別的度量空間,它使得我們能夠對其的拓撲性質,對包含了歐氏幾何和非歐幾何的流形的定義上發揮了作用。

1簡介

約在公元前300年,古希臘數學家歐幾里得建立了角和空間中距離之間聯繫的法則,現稱為歐幾里得幾何。歐幾里得首先開發了處理平面上二維物體的「平面幾何」,他接著分析三維物體的「立體幾何」,所有歐幾里得的公理已被編排到叫做二維或三維歐幾里得空間的抽象數學空間中。
這些數學空間可以被擴展來應用於任何有限維度,而這種空間叫做 n 維歐幾里得空間(甚至簡稱  n維空間)或有限維實內積空間
這些數學空間還可被擴展到任意維的情形,稱為內積空間(不一定完備),希爾伯特空間在高等代數教科書中也被稱為歐幾里得空間。為了開發更高維的歐幾里得空間,空間的性質必須嚴密地表達並被擴展到任意維度。儘管這樣做的結果導致數學非常抽象,但卻捕獲了我們熟悉的歐幾里得空間的根本本質,即平面性。還另存在其他種類的空間,例如球面則非歐幾里得空間,相對論所描述的四維時空在重力出現的時候也不是歐幾里得空間。
有一種方法論把歐幾里得平面看作滿足可依據距離和角表達的特定聯繫的點所成的集合。其一是平移,它意味著移動這個平面就使得所有點都以相同方向移動相同距離。其二是關於在這個平面中固定點的旋轉,其中在平面上的所有點關於這個固定點旋轉相同的角度。歐幾里得幾何的一個基本原則是,如果通過一序列的平移和旋轉可以把一個圖形變換成另一個圖形,平面的兩個圖形(也就是子集)應被認為是等價的(全等)。(參見歐幾里得群)。
歐幾里得空間的最後問題是它在技術上不是向量空間,而是向量空間作用於其上仿射空間。直覺上,區別在於對於原點應當位於這個空間的什麼地方沒有標準選擇,因為它可以到處移動。這種技術本文中很大程度上被忽略了。
歐幾里德空間(Euclidean Space),簡稱為歐氏空間(也可以稱為平直空間),在數學中是對歐幾里德所研究的2維和3維空間的一般化。這個一般化把歐幾里德對於距離、以及相關的概念長度和角度,轉換成任意數維的坐標系。這是有限維、實和內積空間的「標準」例子。 歐氏空間是一個特別的度量空間,它使得我們能夠對其的拓撲性質,例如緊性加以調查。內積空間是對歐氏空間的一般化。內積空間和度量空間都在泛函分析中得到了探討。
歐幾里德空間在對包含了歐氏幾何和非歐幾何的流形的定義上發揮了作用。一個定義距離函數的數學動機是為了定義空間中圍繞點的開球。這一基本的概念正當化了在歐氏空間和其他流形之間的微分。微分幾何把微分,會同導入機動性手法,局部歐氏空間,探討了非歐氏流形的許多性質。
當一個線性空間定義了內積運算之後它就成為了歐幾里德空間。歐幾里德空間是無窮大的。

2嚴格定義

例子
1. (經典歐幾里德空間E^n)在n維實向量空間R^n中定義內積(x,y)=x_1y_1+...+x_ny_n,則R^n為歐幾里德空間。(事實上,任意一個n維歐幾里德空間V等距同構於E^n。)
2. 設V是[0,1]區間上連續實函數全體,則V是R上線性空間,對於如下內積是歐幾里德空間:(f,g)定義為fg在[0,1]區間上的積分值。

3歐幾里德介紹

亞歷山大里亞的歐幾里德(希臘文:Ευκλειδης ,約公元前330年—前275年),古希臘數學家,被稱為「幾何之父」。他活躍於托勒密一世(公元前323年-前283年)時期的亞歷山大里亞,他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎,提出五大公設,發展歐幾里德幾何,被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書。 歐幾里得也寫了一些關於透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品。
歐幾里德生於雅典,當時雅典就是古希臘文明的中心。濃郁的文化氣氛深深地感染了歐幾里得,當他還是個十幾歲的少年時,就迫不及待地想進入「柏拉圖學園」學習。

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