1定義

正四面體

正四面體
正四面體是由四個全等正三角形圍成的空間封閉圖形,所有棱長都相等。
它有4個面,6條棱,4個頂點。正四面體是最簡單的正多面體。

2正三稜錐

正四面體屬於正三稜錐,但是正三稜錐只需要底面為正三角形,其他三個面是全等的等腰三角形就可以,不需要四個面全等且都是等邊三角形。
因此,正四面體又是特殊的正三稜錐。

3基本性質

正四面體是一種柏拉圖多面體,正四面體與自身對偶。
正四面體的重心、四條高的交點、外接球、內切球球心共點,此點稱為中心。
正四面體有一個在其內部的內切球和七個與四個面都相切的旁切球,其中有三個旁切球球心在無窮遠處。
正四面體有四條三重旋轉對稱軸,六個對稱面。
正四面體可與正八面體填滿空間,在一頂點周圍有八個正四面體和六個正八面體。
正四面體的對邊相互垂直。
化學中CH4,CCl4,NH4+,SiH4等物質也是正四面體結構。
正四面體鍵角是109度28分,約為109.47°。

4相關數據

當正四面體的棱長為a時,一些數據如下:
高:√6a/3。中心把高分為1:3兩部分。
表面積:√3a^2
體積:√2a^3/12
對棱中點的連線段的長:√2a/2
外接球半徑:√6a/4,正四面體體積占外接球體積的2*3^0.5/9*π,約12.2517532%。
內切球半徑:√6a/12,內切球體積占正四面體體積的π*3^0.5/18,約30.2299894%。
棱切球半徑:√2a/4.
兩條高夾角:2ArcSin(√6/3)=ArcCos(-1/3)=≈1.91063 32362 49(弧度)或109°28′16″39428 41664 889。這一數值與三維空間中求最小面有關,也是蜂巢底菱形的鈍角的角度.
兩鄰面夾角:2ArcSin(√3/3)=ArcCos(1/3)≈1.23095 94173 4077(弧度)或70°31′43″60571 58335 111,與兩條高夾角在數值上互補。
側棱與底面的夾角:ArcCos(√3/3)
正四面體的對棱相等。具有該性質的四面體符合以下條件:
1.四面體為對棱相等的四面體當且僅當四面體每對對棱的中點的連線垂直於這兩條棱。
2.四面體為對棱相等的四面體當且僅當四面體每對對棱中點的三條連線相互垂直。
3.四面體為對棱相等的四面體當且僅當四條中線相等。

5建系方法

1.設有一正四面體D-ABC棱長為a
以AB邊為y軸A為頂點ABC所屬平面為xOy面建系
四個頂點的坐標依次為
正四面體
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