1名詞簡介

所謂正多面體,是指多面體的各個面都是全等的正多邊形,並且各個多面角都是
正多面體

  正多面體

全等的多面角。例如,正四面體(即正稜錐體)的四個面都是全等的三角形,每個頂點有一個三面角,共有四個三面角,可以完全重合,也就是說它們是全等的。
正多面體的種數很少。多面體可以有無數,但正多面體只有正四面體、正六面體(正方體)、正八面體、正十二面體、正二十面體五種。其中面數最少的是正四面體,面數最多的是正二十面體。有些化學物質的結晶體呈正多面體的形狀,如食鹽的結晶體是正六面體,明礬的結晶體是正八面體。
古希臘的畢達哥拉斯學派曾對五種小多面體作過專門研究,並將研究成果拿給柏拉頓學校教授。故而,西方數學界也將這五種正多面
正多面體

  正多面體

體稱為柏拉頓立體。
類型
面數
棱數
頂點數
每面邊數
每頂點棱數
正4面體
4
6
4
3
3
正6面體
6
12
8
4
3
正8面體
8
12
6
3
4
正12面體
12
30
20
5
3
正20面體
20
30
12
3
5

2名詞種類

正多面體只能有五種,用正三角形做面的正四面體、正八面體,正二十面體,用正方形做面的正六面體,用正五邊形做面的正十二面體。
正多面體
右圖即為正多面體及其平面展開圖

3名詞證明

頂點數V,面數F,棱數E
設正多面體的每個面是正n邊形,每個頂點有m條棱。棱數E應是面數F與n的積的一半(每兩面共用一條棱),即
nF=2E -------------- ①
同時,E應是頂點數V與m的積的一半,即
正多面體

  正多面體

mV=2E -------------- ②
由①、②,得
F=2E/n, V=2E/m,
代入歐拉公式V+F-E=2,
2E/m+2E/n-E=2
整理后,得1/m+1/n=1/2+1/E.
由於E是正整數,所以1/E>0。因此
正多面體

  正多面體

1/m+1/n>1/2 -------------- ③
說明m,n不能同時大於3,否則1/m+1/n<1/2,即
③不成立。另一方面,由於m和n的意義(正多面體一個頂點處的棱數與多邊形的邊數)知,m≥3且n≥3。因此m和n至少有一個等於3
當m=3時,因為1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整數,所以n只能是3,4,5
同理n=3,m也只能是3,4,5
所以有以下幾種情況:n m 類型
3 3 正四面體
4 3 正六面體
正多面體

  正多面體

3 4 正八面體
5 3 正十二面體
3 5 正二十面體
由於上述5種多面體確實可以用幾何方法作出,而不可能有其他種類的正多面體
所以正多面體只有5種
相同表面積的四面體、六面體、正十二面體、以及正二十面體,其中體積最大的
正多面體

  正多面體

是:正二十面體。
或者這麼證明:
假設每個頂點由m個正n邊形組成,由於每個頂點的角度必須小於360度,否則就成了平面了,可得:
m*(1-2/n)*180<360→m*(n-2)<2n→mn-2m-2n<0→mn-2m-2n+4<4→(m-2)(n-2)<4→m,n組合為:3,3;3,4;3,5;4,3;5,3幾種

4名詞對偶性

把一個正多面體每個面的中心連起來,可以得到一個新的多面體.如果原來是正六面體
正多面體

  正多面體

,那麼得到的是正八面體;如果原來是正八面體,那麼得到的是正六面體.把這一性質稱為正六面體與正八面體對偶.正十二面體與正二十面體對偶.而正四面體則與自己對偶。

5名詞公式

其中sqrt(x)表示x的算術平方根。
各多面體的體積如下:
V4=sqrt(2)/12*a^3
V6=a^3
V8=sqrt(2)/3*a^3
V12=(15+7sqrt(5))/4*a^3
V20=(15+5sqrt(5))/12*a^3
各多面體的表面積如下:
S4=sqrt(3)*a^2
S6=6*a^2
S8=2sqrt(3)*a^2
S12=(5sqrt(25+10sqrt(5))/4*a^2
S20=5sqrt(3)*a^2
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