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正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦值之間的一個關係式。也就是任意三角形的邊角關係。

1 正弦定理 -簡介

正弦定理正弦定理
正弦定理

在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(在同一個三角形中是恆量,是外接圓的直徑)

S△ABC=a*b*sinC/2=b*c*sinA/2=a*c*sinB/2=a*b*c/4

2 正弦定理 -證明

步驟1.
在銳角△ABC中,設三邊為a,b,c。作CH⊥AB垂足為點H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到
a/sinA=b/sinB
同理,在△ABC中,
b/sinB=c/sinC
步驟2.
證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:
如圖,任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.
作直徑BD交⊙O於D.
連接DA.
因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度
因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等於∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
a/SinA=BC/SinD=BD=2R
類似可證其餘兩個等式。

3 正弦定理 -意義

正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦之間的一個關係式,又由正弦函數在區間上的單
調性可知,正弦定理非常好的描述了任意三角形中邊與角的一種數量關係。

 

4 正弦定理 -擴展

一.三角形面積公式
1.海倫公式:
設P=1/2(a+b+c)
S△=根號下P(P-a)(P-b)(P-c)
解釋:假設有一個三角形,邊長分別為a、b、c,三角形的面積S可由以下公式求得:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p為半周長:
p=(a+b+c)/2
2. S△ABC=ab·sinC/2=bc·sinA/2=ac·sinB/2=abc/(4R)[R為外接圓半徑]
3.S△ABC=ah/2

二. 正弦定理的變形公式
(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;
(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;
(條件同上)
在一個三角形中,各邊與其所對角的正弦的比相等,且該比值都等於該三角形外接圓的直徑已知三角形是確定的,利用正弦定理解三角形時,其解似的唯一的;已知三角形的兩邊和其中一邊的對角,由於該三角形具有不穩定性,所以其解不確定,可結合平面幾何作圖的方法及「大邊對大角,大角對大邊」定理和三角形內角和定理去考慮解決問題

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